Tối thiểu trên tất cả các phân phối của vectơ đơn vị phương sai của sản phẩm chấm của vectơ là gì?

Tôi cố gắng để tìm thấy một bản phân phối qua vectơ ngẫu nhiên, nói , trên cầu đơn vị chiều (nơi ) giảm thiểu tuân theo ràng buộc .$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

Tôi đã thử một số bản phân phối và hầu hết tất cả chúng đều có phương sai $1/k$ . Ví dụ: cả phân phối trong đó mỗi tọa độ của mỗi $x_i$ đều được chọn độc lập và thống nhất từ $\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$ và phân phối trong đó mỗi $x_i$ là một vectơ đồng nhất độc lập trên mặt cầu đơn vị $k$ -chiều có phương sai $1/k$ .

Là $1/k$ phương sai tối thiểu trong số tất cả các phân phối?

Tôi sẽ trình bày một công thức tương đương nhưng có vẻ đơn giản hơn của vấn đề và hiển thị giới hạn dưới của ( n / k - 1) / ( n 1). Tôi cũng cho thấy một kết nối với một vấn đề mở trong thông tin lượng tử. [Chỉnh sửa trong phiên bản 3: Trong các phiên bản trước, tôi đã tuyên bố rằng việc mô tả chính xác các trường hợp mà giới hạn dưới hiển thị dưới đây có thể gặp khó khăn vì một câu hỏi tương tự trong trường hợp phức tạp bao gồm một vấn đề mở về SIC-POVMs thông tin lượng tử. Tuy nhiên, kết nối này với SIC-POVM không chính xác. Để biết chi tiết, hãy xem phần Kết nối không chính xác với SIC-POVM trong thông tin lượng tử mà bên dưới.]

Công thức tương đương

Đầu tiên, như đã được chỉ ra trong câu trả lời của daniello, lưu ý rằng Var ( x _i ^T x _j ) = E [( x _i ^T x _j ) ² ] - E [ x _i ^T x _j ] ² = E [( x _i ^T x _j ) ² ]. Vì vậy, trong phần còn lại của câu trả lời, chúng ta quên đi phương sai và thay vào đó tối thiểu hóa tối đa _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ].

Tiếp theo, khi chúng tôi quyết định mục tiêu của chúng tôi là để giảm thiểu tối đa _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ], chúng ta có thể bỏ qua những hạn chế đó E [ x _i ^T x _j ] = 0. Điều này là bởi vì nếu chúng ta có ngẫu nhiên vectơ đơn vị x ₁ , chụp , x _n , sau đó chúng ta có thể phủ định từng độc lập với xác suất 1/2 để thỏa mãn E [ x _i ^T x _j ] = 0 mà không thay đổi giá trị của hàm mục tiêu max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j) ² ].

Hơn nữa, thay đổi hàm mục tiêu từ max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] thành (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] không thay đổi giá trị tối ưu. Cái sau nhiều nhất là cái trước vì trung bình nhiều nhất là tối đa. Tuy nhiên, chúng tôi luôn có thể làm cho các giá trị của E [( x _i ^T x _j ) ² ] cho sự lựa chọn khác nhau của ( i , j ) ( i ≠j ) bằng cách hoán vị n vectơ x ₁ , Mạnh , x _n ngẫu nhiên.

Vì vậy, đối với bất kỳ n và k , giá trị tối ưu của vấn đề được đề cập bằng giá trị tối thiểu của (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] trong đó x ₁ , Số, x _n là các biến ngẫu nhiên lấy vectơ đơn vị tính bằng ℝ ^k làm giá trị.

Tuy nhiên, theo tính tuyến tính của kỳ vọng, hàm mục tiêu này bằng giá trị mong đợi E [(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² ]. Bởi vì mức tối thiểu tối đa là trung bình, không cần phải xem xét phân phối xác suất nữa. Nghĩa là, giá trị tối ưu của vấn đề trên bằng với giá trị tối ưu của các vấn đề sau:

Chọn vectơ đơn vị x ₁ , ..., x _n ∈ ℝ ^k để giảm thiểu (1 / ( n ( n -1))) Σ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² .

Chặn dưới

Sử dụng công thức tương đương này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng giá trị tối ưu ít nhất là ( n / k - 1) / ( n 1).

Với 1≤ i ≤ n , đặt X _i = x _i x _i ^T là máy chiếu hạng 1 tương ứng với vectơ đơn vị x _i . Sau đó, nó giữ rằng ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j ).

Đặt Y = ∑ _i X _i . Khi đó, nó giữ rằng ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = ∑ _{i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n .

Bất đẳng thức Cauchy từ Schwarz ngụ ý rằng Tr ( Y ² ) (Tr Y ) ² / k = n ² / k , và do đó ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = Tr ( Y ² ) - n ≥ n ² / k - n . Bằng cách chia cho n ( n 1), chúng ta thu được giá trị mục tiêu ít nhất là ( n / k - 1) / ( n 1).

Cụ thể, khi n = k +1, câu trả lời của daniello nằm trong hệ số 2 từ giá trị tối ưu.

Khi nào giới hạn dưới này có thể đạt được?

Đạt này thấp hơn ràng buộc ( n / k - 1) / ( n -1) tương đương với làm Y = ( n / k ) tôi . Tôi không biết đặc tính chính xác khi có thể đạt được, nhưng theo các điều kiện đủ tồn tại:

• Khi n = k +1, có thể đạt được bằng cách xem xét các vectơ đơn vị k +1 tạo thành một k -simplex thông thường ở trung tâm gốc, cải thiện từ 2 / ( k ( k +1)) trong câu trả lời của daniello thành 1 / k tối ưu ² .
• Khi n là bội số của k , có thể đạt được rõ ràng bằng cách sửa một cơ sở trực giao của ℝ ^k và gán từng vectơ cơ sở cho n / k của v ₁ , Lỗi , v _n .
• Tổng quát hơn điểm đạn cuối cùng, nếu có thể đạt được với một số lựa chọn k và cả n = n ₁ và n = n ₂ , thì nó cũng có thể đạt được cho cùng k và n = n ₁ + n ₂ . Cụ thể, có thể đạt được nếu n = a k + b trong đó a và b là các số nguyên thỏa mãn a ≥ b 0 .

Mặc dù tôi chưa kiểm tra chi tiết, nhưng dường như bất kỳ thiết kế 2 hình cầu nào cũng đưa ra giải pháp đạt được giới hạn dưới này.

Kết nối không chính xác với SIC-POVM trong thông tin lượng tử

Trong các phiên bản trước, tôi đã tuyên bố:

Tôi nghi ngờ rằng trả lời này hoàn toàn là một câu hỏi khó. Lý do là nếu thay vào đó chúng ta xem xét không gian vectơ phức tạp ℂ ^k , câu hỏi này có liên quan đến một vấn đề mở trong thông tin lượng tử.

Nhưng mối quan hệ này là không chính xác. Tôi sẽ giải thích tại sao.

Chính xác hơn, hãy xem xét vấn đề sau:

Chọn vectơ đơn vị x ₁ , ..., x _n ∈ ℂ ^k để giảm thiểu (1 / ( n ( n -1))) Σ _{i ≠ j} | x _i ^* x _j | ² .

Các giới hạn dưới ở trên giữ bằng nhau trong phiên bản phức tạp này. Hãy xem xét trường hợp n = k ² trong phiên bản phức tạp. Khi đó giới hạn dưới bằng 1 / ( k +1).

Cho đến nay, nó đã đúng.

Một tập hợp các k ² đơn vị vectơ x ₁ , ..., x _{k ²} ∈ ℂ ^k đạt các ràng buộc thấp hơn được gọi là một SIC-POVM trong chiều k ,

Phần này không chính xác. Một SIC-POVM là một tập hợp các vectơ đơn vị k ² x ₁ , Khác, x _n ∈ ^k mà | x _i ^* x _j | ² = 1 / ( k +1) với mọi i ≠ j . Lưu ý rằng ở đây yêu cầu phải giữ cho tất cả các cặp i ≠ j , không chỉ trung bình trên tất cả các cặp i ≠ j . Trong phần Công thức tương đương của Fem, chúng tôi đã chỉ ra sự tương đương giữa giảm thiểu tối đa và tối thiểu hóa trung bình, nhưng điều này là có thể bởi vì x ₁, Mạnh, x _n là các biến ngẫu nhiên lấy các vectơ đơn vị ở đó. Ở đây x ₁ , chụp , x _n chỉ là các vectơ đơn vị, vì vậy chúng ta không thể sử dụng cùng một mẹo.

$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

$x_i$