Có

Điều gì xảy ra nếu chúng ta định nghĩa ${\bf PPAD}$ sao cho thay vì mạch Turing-machine / polysize polytime, logspace Turing-machine hoặc mạch ${\bf AC^0}$ mã hóa vấn đề?

Gần đây đưa ra các thuật toán nhanh hơn cho Circuit satisfiability cho mạch nhỏ hóa ra là quan trọng, vì vậy tôi tự hỏi điều gì sẽ xảy ra với các phiên bản rectricted của ${\bf PPAD}$ .

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$Vâng, $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ . (Ở đây và bên dưới, tôi giả sử $\ac$ được định nghĩa là một lớp thống nhất. Tất nhiên, với nonuniform $\ac$ chúng ta sẽ nhận được $\mathrm{PPAD/poly}$ .)

Ý tưởng cơ bản khá đơn giản: $\ac$ có thể thực hiện một bước tính toán máy Turing, do đó chúng ta có thể mô phỏng một cạnh tính toán thời gian đa thức bằng một đường dài đa thức của các cạnh A C 0 có thể tính toán được $\ac$. Bằng cách mở rộng thêm ý tưởng, người ta có thể mô phỏng các cạnh có thể tính toán được trong thời gian poly với một lời tiên tri PPAD, nghĩa là, PPAD được đóng dưới khả năng giảm Turing; lập luận này được đưa ra ở Buss và Johnson .

Có nhiều định nghĩa tương đương về PPAD trong tài liệu khác nhau về các chi tiết khác nhau, do đó hãy để tôi sửa một lỗi ở đây cho chắc chắn. Một vấn đề tìm kiếm NP $S$ nằm trong PPAD nếu có một hàm đa thức $p(n)$ và các hàm thời gian đa thức $f(x,u)$ , $g(x,u)$ và $h(x,u)$ với các thuộc tính sau. Với mỗi đầu vào $x$ có độ dài $n$ , $f$ và $g$ đại diện cho đồ thị có hướng $G_x=(V_x,E_x)$ không có vòng lặp trong đó$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$ và mọi nút đều có mức độ và mức độ tối đa là$1$ . Các đại diện là như vậy mà nếu$(u,v)\in E_x$ , sau đó$f(x,u)=v$ và$g(x,v)=u$ ; nếu$u$ có độ ngoài$0$ ,$f(x,u)=u$ ; và nếu$u$ có độ$0$ ,$g(x,u)=u$ .

Nút 0 p ( n ) ∈ V x là một nguồn (ví dụ, nó có ở độ 0 và ngoài độ 1 ). Nếu u ∈ V x là bất kỳ nguồn hoặc chìm nào (ở mức 1 , ngoài 0 ) khác 0 p ( n ) , thì h ( x , u ) là một giải pháp cho S ( x ) .$0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

Chúng ta có thể định nghĩa A C 0 P A D tương tự, ngoại trừ chúng ta yêu cầu f , g , h phải ở trong F A C 0 .$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

Tôi sẽ bỏ qua h trong xây dựng cho đơn giản. (Không khó để chỉ ra rằng người ta có thể coi nó là một phép chiếu, do đó A C 0 có thể tính toán được.)$h$$\ac$

Vì vậy, hãy xem xét một vấn đề PPAD S được xác định bởi f và g và sửa lỗi máy Turing tính toán f và g trong thời gian q ( n ) . Đối với bất kỳ x , chúng tôi xác định một đồ thị có hướng G ′ x = ( V ′ x , E ′ x ) có các đỉnh là các chuỗi có dạng sau:$S$$f$$g$$f$$g$$q(n)$$x$$G'_x=(V'_x,E'_x)$

• ( 0 , u , c 1 , Mạnh , c k ) , trong đó u ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) và c 1 , Lỗi , c k là cáccấu hình k đầu tiêntrong tính toán của f ( x , u ) .$(0,u,c_1,\dots,c_k)$$u\in V_x$$0\le k\le q(n)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

• ( 0 , u , c 1 , ... , c q ( n ) , v , d 1 , ... , d k ) , nơi u , v ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , f ( x , u ) = v , c 1 , ... , c q $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$$u,v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$f(x,u)=v$$c_1,\dots,c_{q(n)}$ is the full computation of $f(x,u)$, and $d_1,\dots,d_k$ are the first $k$ steps in the computation of $g(x,v)$.

• $(1,v,d_1,\dots,d_k)$, where $0^{p(n)}\ne v\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, and $d_1,\dots,d_k$ are the first $k$ configurations in the computation of $g(x,v)$.

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$, where $u,v\in V_x$, $v\ne0^{p(n)}$, $0\le k\le q(n)$, $g(x,v)=u$, $d_1,\dots,d_{q(n)}$ is the computation of $g(x,v)$, and $c_1,\dots,c_k$ are the first $k$ steps in the computation of $f(x,u)$.

$E'_x$ consists of the edges in $V'_x\times V'_x$ of the following kinds:

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ if $f(u)=v$ and $g(v)=u$ (i.e., either $(u,v)\in E_x$, or $u=v$ is an isolated vertex)

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$-functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$, and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$, $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$-computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$, we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$, and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$.

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$. Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$, except that in the special case $v=0^{p(n)}$, we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$. We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$.

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$, and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$-function $h'$ which outputs the second component of a sequence.