Biến thể của vấn đề bao gồm tập hợp này được gọi là gì?

Đầu vào là một vũ trụ $U$ và một họ các tập con của $U$ , nói, ${\cal F} \subseteq 2^U$ . Chúng tôi giả định rằng các tập con trong ${\cal F}$ có thể bao gồm $U$ , tức là, $\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$ .

Một chuỗi bao phủ gia tăng là một chuỗi các tập con trong , nói, Một = { E 1 , E 2 , ... , E | Một | } , thỏa mãn${\cal F}$${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$

1) ,$\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$

2) mỗi người mới có đóng góp mới, tức là, , ⋃ i - 1 j = 1 E i ⊊ ⋃ i j = 1 E i ;$\forall i>1$$\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

Vấn đề là tìm một chuỗi bao phủ tăng dần có độ dài tối đa (nghĩa là với tối đa ). Lưu ý rằng một chuỗi dài tối đa cuối cùng phải bao gồm U , tức là, ⋃ E ∈ A E = U .$|{\cal A}|$$U$$\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$

Tôi đã cố gắng tìm một thuật toán hoặc một thuật toán gần đúng để tìm chuỗi trình tự gia tăng dài nhất. Tôi chỉ tự hỏi biến thể của vấn đề bao gồm tập hợp này được gọi là gì. Cảm ơn bạn!

Ở đây tôi chỉ ra rằng vấn đề là NP-đầy đủ.

Chúng tôi chuyển đổi một CNF thành một ví dụ về vấn đề của bạn như sau. Giả sử rằng các biến của CNF là x i 's và các mệnh đề là m C j ' s, trong đó n < m . Đặt U = ∪ i ( A i ∪ B i ∪ Z i ) trong đó tất cả các tập hợp trong liên minh hoàn toàn rời rạc. Trong thực tế, A i = { a i , j ∣ x i ∈ C j } ∪ { a $n$ $x_i$$m$ $C_j$$n<m$$U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$ và B $A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$, trong khi Z i là bất kỳ tập hợp cardinalityk=2n+1. Cũng biểu thịZ= ∪ i Z i và sửa chữa cho mỗi Z i một gia đình ngày càng tăng của chiều dàikbên trong nó, biểu thị bởi Z i $B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$$Z_i$$k=2n+1$$Z=\cup_i Z_i$$Z_i$$k$ chol$Z_{i,l}$ . Với mỗi biến x i , chúng ta thêmcác bộ vào F , mỗi bộ có dạng A i ∪ Z i , $l=1..k$$x_i$và B i ∪ Z i , l . Với mỗi mệnh đề C j , chúng ta thêm một tập hợp vào F , chứa Z và với mọiphần tử x i ∈ C j { a i , j$2k$$\mathcal F$$A_i \cup Z_{i,l}$$B_i \cup Z_{i,l}$$C_j$$\mathcal F$$Z$$x_i\in C_j$$\{a_{i,j}\}$ và cho mỗi $\bar x_i\in C_j$ element $\{b_{i,j}\}$.

$k$ sets of the form $A_i \cup Z_{i,l}$ or $B_i \cup Z_{i,l}$, depending on whether $x_i$ is true or not. These are $nk$ incremental sets. Now add the $m$ sets corresponding to the clauses. These also keep increasing the size, as the clauses are satisfiable. Finally, we can even add $k$ more sets (one for each variable) to make the sequence cover $U$.

$n(k+1)+m$ sets are put in an incremental sequence. Notice that at most $k+1$ sets corresponding to $x_i$ can be selected for each $x_i$. Thus, if there are no clause sets in the incremental sequence, at most $n(k+1)$ can be selected, which is too few. Notice that as soon as a clause set is selected, we can pick at most two sets corresponding to each $x_i$, a total of at most $2n$ sets. Therefore, we have to pick at least bộ biến trước khi chọn bất kỳ tập mệnh đề nào. Nhưng vì chúng ta có thể chọn tối đa k + 1 cho mỗi x i , điều này có nghĩa là với mỗi chúng ta đã chọn ít nhất 1 , vì k = 2 n + 1 . Điều này xác định "giá trị" của biến, do đó chúng ta chỉ có thể chọn các mệnh đề "đúng".$n(k-1)$$k+1$$x_i$$1$$k=2n+1$

Cập nhật: Giá trị thay đổi của từ n đến 2 n + 1 như được chỉ ra bởi Marzio.$k$$n$$2n+1$

This is a set packing problem under the constraint that for the solution $\mathcal{A}$, for any subset $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$, we have that there is always an element in $\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$, which is covered exactly once.

Proof: Given a solution to your problem, it immediately has this property. Indeed, if $E_1, \ldots, E_m$ is the optimal solution to your problem, then consider a subset $\mathcal{B}$ of these sets, and assume $E_i$ is the last set in this sequence appearing in $\mathcal{B}$. By the required property that the solution is incremental, it follows that $E_i$ covers an element that no prior set covers, which implies the above property.

As for the other direction, it also easy. Start from the solution $\mathcal{A}$, find the element that is covered exactly once, set it as the last set in the sequence, remove this set, and repeat. QED.

This is a pretty natural problem....

Quick reminder: In the set packing problem, given a family of sets, find the maximal subset of sets, that comply with some additional constraint (say, no element is covered more than 10 times, etc).