Bất kỳ đa thức nào khó đếm nhưng dễ quyết định?

Mỗi mạch số học đơn điệu , tức là một mạch $\{+,\times\}$ , tính toán một số đa thức với các hệ số nguyên không âm. Cho một đa thức , mạchf ( x 1 , Mạnh , x n$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• tính nếu giữ cho tất cả ; F ( a ) = f ( a ) a ∈ N$f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• đếm nếu giữ cho tất cả ; F ( a ) = f ( a ) a ∈ { 0 , 1 } $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• quyết định nếu F (a)> 0 chính xác khi f (a)> 0 giữ cho tất cả a \ in \ {0,1 \} ^ n . F ( a ) > 0 f ( a ) > 0 a ∈ { 0 , 1 } $f$$F(a)>0$$f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

Tôi biết các đa thức rõ ràng (thậm chí đa tuyến) cho thấy khoảng cách kích thước mạch "tính toán / đếm" có thể là số mũ. Câu hỏi của tôi liên quan đến khoảng cách "tính / quyết định".$f$

Câu hỏi 1: Có ai biết bất kỳ đa thức nào khó tính theo cấp số nhân hơn là quyết định bởi -circuits không? { + , × $f$$\{+,\times\}$

Là một ứng cử viên có thể, người ta có thể lấy đa thức PATH có các biến tương ứng với các cạnh của đồ thị hoàn chỉnh trên và mỗi đơn thức tương ứng với một đường dẫn đơn giản từ nút đến nút trong . Đa thức này có thể được quyết định bởi một mạch có kích thước thực hiện, giả sử, thuật toán lập trình động Bellman-Ford, và tương đối dễ dàng để thấy rằng mọi máy tính P -circuit phải có kích thước . { 1 , Hoài , n } 1 n K $K_n$$\{1,\ldots,n\}$$1$$n$$K_n${ + , × $O(n^3)$$\{+,\times\}$$2^{\Omega(n)}$

Mặt khác, mỗi mạch đếm PATH giải quyết PATH vấn đề, tức là đếm số -to- đường dẫn trong quy định của tương ứng - đồ thị con đầu vào của . Đây là một vấn đề được gọi là P -complete . Vì vậy, tất cả chúng ta đều "tin" rằng PATH không thể có bất kỳ số đếm { + , × } nào có kích thước đa thức. Vấn đề "duy nhất" là chứng minh điều này ... 1 n 0 1 K n #$\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

Tôi có thể chỉ ra rằng mọi -circuit đếm một đa thức đường dẫn Hamilton có liên quan đều yêu cầu kích thước theo cấp số nhân. Các đơn thức của đa thức này tương ứng với các đường dẫn 1 - trong chứa tất cả các nút. Thật không may, giảm của HP để PATH bởi Valiant đòi hỏi phải tính toán nghịch đảo của ma trận vandermonde, và do đó không thể được thực hiện bởi một -circuit.$\{+,\times\}$$1$K $n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

Câu hỏi 2: Có ai thấy mức giảm đơn điệu của HP thành PATH không? $\#$$\#$

Và cuối cùng:

Câu hỏi 3: "Phiên bản đơn điệu" của lớp P có được xem xét không? $\#$

NB Lưu ý rằng tôi đang nói về một loại mạch rất hạn chế: mạch số học đơn điệu ! Trong lớp -circuits, Câu hỏi 1 sẽ không công bằng khi hỏi: không có giới hạn nào lớn hơn cho các mạch như vậy, ngay cả khi được yêu cầu tính toán một đa thức đã cho trên tất cả các đầu vào trong , đã biết. Ngoài ra, trong lớp của các mạch như vậy, một "tương tự cấu trúc" của Câu hỏi 1 - có các đa thức P -complete có thể được quyết định bởi đa kích thước { + , - , × }Ω ( n log n ) R n$\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$$\{+,-,\times\}$-Chu trình? - có một câu trả lời khẳng định. Là như vậy, ví dụ, PER đa thức vĩnh viễn . $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

THÊM: Tsuyoshi Ito đã trả lời Câu hỏi 1 bằng một mẹo rất đơn giản. Tuy nhiên, Câu hỏi 2 và 3 vẫn mở. Trạng thái đếm của PATH rất thú vị bởi vì đây là vấn đề DP tiêu chuẩn và vì nó là # P-Complete.

(Tôi đang đăng bình luận của mình dưới dạng câu trả lời để đáp ứng yêu cầu của OP.)

Đối với Câu hỏi 1, hãy để f _n : {0,1} ⁿ → là một họ các hàm có mạch số học yêu cầu kích thước theo cấp số nhân. Sau đó, f _n +1 cũng vậy, nhưng f _n +1 rất dễ quyết định bởi một mạch số học đơn điệu tầm thường. Nếu bạn muốn tránh các hằng số trong các mạch số học đơn điệu, thì hãy để f _n : {0,1} ⁿ → là một họ các hàm sao cho mạch số học cho f _n yêu cầu kích thước theo cấp số nhân và f _n (0, Lít , 0) = 0 và xem xét f _n + x ₁ + Hoài + x _n .