Trường hợp tham số quan hệ trong các mô hình hyperdoctrine hoặc topos được khám phá ở đâu?

Reynold ban đầu đề xuất một ngữ nghĩa quan hệ cho phép tính lambda đa hình bậc hai [1]. Tuy nhiên, sau đó ông đã cho thấy [2] rằng cách tiếp cận này không phù hợp với lý thuyết tập hợp cổ điển. Các mô tả đã mô tả khuôn khổ của các mô hình hyperdoctrine và mô hình topos [3] phù hợp với logic xây dựng.

Có lẽ các mô hình hyperdoctrine và topos quan hệ sau đó đã được phát triển. Tôi có thể đọc về họ ở đâu?

• [1] Các loại, trừu tượng và đa hình tham số
• [2] Đa hình không theo lý thuyết tập hợp
• [3] Đa hình được thiết lập theo lý thuyết, xây dựng

• Vì lý do kỹ thuật, đã không có nhiều công việc trên các mô hình topos tham số. Logic bên trong của một topos là một dạng của lý thuyết tập hợp, và lập chỉ mục giả định kiểu F và tiên đề lũy thừa không tương thích. Xem các loại sức mạnh không tầm thường của Andy Forge không thể là loại phụ của các loại đa hình :

  Bài viết này thiết lập một mối quan hệ mới, giới hạn giữa phép tính lambda đa hình và loại lý thuyết loại bậc cao hơn được thể hiện trong logic của các đỉnh. Nó được chỉ ra rằng bất kỳ sự nhúng nào trong một đỉnh của thể loại đóng kín của kiểu cartesian của một mô hình của phép tính lambda đa hình phải đặt các kiểu đa hình cách xa các kiểu mạnh, P (X), của topos, theo nghĩa rằng P (X) là một kiểu con của kiểu đa hình chỉ trong trường hợp X trống (và do đó P (X) là đầu cuối). Như những hệ quả tất yếu, chúng ta có được sự củng cố kết quả của Reynold về sự không tồn tại của các mô hình đa hình lý thuyết tập hợp.

  Kết quả là, mặc dù bạn có thể đưa ra một vũ trụ diễn giải các loại F theo logic topos, bạn không thể để nó tương tác theo những cách thú vị với toàn bộ vũ trụ. Tuy nhiên, tất cả là không bị mất!

  1. $F_\omega$

  2. Một phản ứng khác đối với kết quả của Microsoft là không hoạt động với một lý thuyết tập hợp, mà là một lý thuyết loại phụ thuộc. Vì không có loại công suất trước đây trong lý thuyết loại phụ thuộc, bạn không phải lo lắng về sự tương tác của các loại công suất và đa hình. Xem Atkey, Ghani và Johann là mô hình tham số tương đối của lý thuyết loại phụ thuộc .

• Tuy nhiên, không có những trở ngại như vậy để xây dựng các mô hình hyperdoctrine-ish, trong đó các thuật ngữ của Hệ thống F là các đối tượng của logic. Nghiên cứu dọc theo các dòng này có lẽ đã được Abadi và Plotkin khởi xướng trong bài báo chuyên đề A Logic cho đa hình tham số . Lars Birkedal và các cộng tác viên của ông đã làm việc rất nhiều trong việc xây dựng các mô hình phân loại cho logic này và các logic tương tự --- xem cụ thể Birkedal, Møgelberg, và các mô hình lý thuyết loại của tuyến tính Abadi và Plotkin Logic của Petersen , đưa ra logic cho lý luận về hệ thống tuyến tính F , cộng với một bằng chứng rằng nó là âm thanh và hoàn chỉnh đối với một loại mô hình phân loại nhất định.