Ngữ nghĩa phân loại cho logic không đơn điệu?

Có bất kỳ ngữ nghĩa phân loại cho logic không đơn điệu?

Dường như câu trả lời đơn giản cho điều này là "Không" vì khái niệm rõ ràng về bố cục thất bại đối với bất kỳ mô hình logic phi đơn điệu nào. Nhưng có một mô hình thực sự hoạt động với một khái niệm được định nghĩa thích hợp về thành phần?

Logic không đơn điệu là một loại của một lĩnh vực rộng - bạn có bất kỳ logic cụ thể nào trong tâm trí không? Dù sao, chắc chắn giả định :) rằng

1. bạn quan tâm đến bất kỳ logic nào trong đó nguyên tắc đơn điệu thất bại, và
2. bạn muốn có một ngữ nghĩa phân loại theo nghĩa của lý thuyết bằng chứng phân loại (chứ không phải là, một ngữ nghĩa hyperdoctrine), sau đó

một câu trả lời là bạn có thể đưa ra một ngữ nghĩa phân loại hợp lý cho bất kỳ logic nào mà phép tính toán tuần tự với loại bỏ cắt được biết đến. Về cơ bản, các loại là các đối tượng, các dạng bình thường của phép tính tuần tự là các hình thái và loại bỏ cho bạn biết cách thực hiện bố cục. Điều này cung cấp cho bạn danh mục ban đầu trong bất kỳ danh mục mô hình nào bạn kết thúc sử dụng để chứng minh tính đúng đắn và đầy đủ.

Công thức này độc lập với tính đơn điệu, và do đó nó có thể hoạt động tốt ngay cả đối với các logic không đơn điệu. Ví dụ, một trong những thành công quan trọng hơn trong logic phân loại là việc xử lý logic tuyến tính . Đây là một logic trong đó, theo trực giác, các mệnh đề đề cập đến các tài nguyên , do đó hàm ý tuyến tính có thể được đọc là " có thể được sử dụng để tạo ". Mối quan hệ hệ quả của logic tuyến tính là không đơn điệu (vì thực tế là có thể được tiêu thụ để sản xuất không có nghĩa là cả và đều có thể được tiêu thụ để tạo ra$A \multimap B$$A$$B$$A$$B$$A$$X$$B$). Tuy nhiên, nó có một lý thuyết bằng chứng tuyệt vời, và các mô hình phân loại của nó được liên kết chặt chẽ với lý thuyết về các phạm trù đơn hình.

[Tôi xin lỗi vì đã viết bài này như một câu trả lời, mặc dù thực tế rằng nó về cơ bản chỉ là một nhận xét cho câu trả lời trước đó. Nhưng tôi không được phép đăng bình luận lên đó vì tôi không có đủ "danh tiếng"]

Câu trả lời trước không đúng. Logic tuyến tính (cũng như bất kỳ hệ thống cấu trúc phụ nào của nó: MLL, MALL, MELL, ALL, bất cứ điều gì bạn muốn ...) là hoàn toàn đơn điệu .

Câu trả lời của Neel nhầm lẫn giữa "mức độ liên quan" và "tính không đơn điệu".

Sự liên quan có thể được xem là sự không đơn điệu của đầu nối suy luận của hệ thống . Tuyến tính logic là có liên quan, trong đó các provability của không bao hàm sự provability của . Sự liên quan là một loại không đơn điệu bên trong của logic.$\;\vdash A \multimap B$$\vdash X\otimes A \multimap B$

Mặt khác, cái mà mọi người gọi là logic không đơn điệu là các hệ thống mà bản thân khả năng chứng minh của hệ thống không đơn điệu: việc thêm một phần tử mới vào tập hợp các công thức sẽ thay đổi tập hợp các công thức có thể chứng minh được. Nó là một dạng của tính không đơn điệu của meta , bởi vì nó liên quan đến tính chứng minh và không phải là kết nối của suy luận. Logic tuyến tính là đơn điệu: bạn có thể thêm bất cứ điều gì bạn muốn vào tập hợp các công thức và bất kỳ quy tắc tiên đề hoặc suy luận mới nào cho hệ thống, nhưng nếu bạn đã có bằng chứng về trình tự trước đó, bạn sẽ bây giờ vẫn có nó, vì bạn đã không thay đổi các quy tắc suy luận khác của phép tính tuần tự.$\;\Gamma \vdash M: A$

Theo như tôi biết, các logic không đơn điệu (thực) rất khó đưa vào dạng tính toán liên tiếp được hưởng loại bỏ cắt, hoặc bất kỳ loại hệ thống chứng minh nào khác có khái niệm tương đương về chấm dứt chứng minh giảm. Đây là lý do tại sao các cách tiếp cận ngữ nghĩa phân loại truyền thống hầu như không làm việc cho họ.