Những phỏng đoán lâu dài sau đó được chứng minh một cách tầm thường bằng một hàm ý

Tôi muốn biết nếu đã có những phỏng đoán từ lâu đã không được chứng minh trong TCS, mà sau đó đã được chứng minh bằng một hàm ý từ một định lý khác, điều đó có thể dễ dàng chứng minh hơn.

Erdös và Pósa đã chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên và bất kỳ đồ thị nào, đều có chu kỳ tách rời hoặc có một tập hợp kích thước tại hầu hết các đỉnh sao cho là một khu rừng. (trong chứng minh ).G G k f ( k ) S ∈ G G ∖ S f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k $k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

Thuộc tính Erdös và Pósa của đồ thị cố định được gọi là sau (không phải là định nghĩa chính thức):$H$

Lớp biểu đồ thừa nhận thuộc tính Erdös-Pósa nếu có hàm sao cho mọi đồ thị và cho mọi và cho mọi đồ thị hoặc có bản sao đẳng cấu (phân biệt nhỏ hoặc phân chia) của trong hoặc có một tập hợp các đỉnh , sao cho và không có bản sao đẳng cấu của . f H ∈ C k ∈ Z G k H G S ∈ G | S | ≤ f ( k ) G ∖ S $\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Sau kết quả của Erdös và Pósa cho một lớp chu kỳ đang thừa nhận tính chất này, đó là một câu hỏi mở để tìm một lớp thích hợp . Trong biểu đồ nhỏ V đã chứng minh rằng mọi đồ thị phẳng đều có chiều rộng cây giới hạn hoặc chứa một lưới lớn là nhỏ, bằng cách có định lý lưới trong tay, chúng chỉ ra rằng thuộc tính Erdös và Pósa giữ (đối với phụ) nếu và chỉ khi là một lớp đồ thị phẳng. Vấn đề vẫn còn mở cho phân khu, mặc dù. Nhưng bằng chứng của định lý wrt nhỏ bằng cách nào đó đơn giản và theo hiểu biết tốt nhất của tôi, không có bằng chứng nào mà không sử dụng định lý lưới.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Các kết quả gần đây cho máy in , cung cấp câu trả lời cho các câu hỏi mở từ lâu trong khu vực tương tự cho máy in. ví dụ: một câu hỏi rất cơ bản là có một hàm sao cho với bất kỳ đồ thị và số nguyên , chúng ta có thể tìm thấy một tập hợp có nhiều nhất là đỉnh sao cho không có chu kỳ có độ dài ít nhất hoặc có chu kỳ rời nhau có độ dài ít nhất trong . Đây chỉ là một trường hợp đặc biệt nhưng với$f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$$l=2$nó được biết đến như một phỏng đoán của Younger. Trước đó, phỏng đoán của Younger đã được chứng minh bởi Reed et al với cách tiếp cận khá phức tạp.

Điều đáng nói là vẫn còn một số trường hợp không tầm thường trong máy in. vd ). Có lẽ bằng cách cung cấp một đặc tính tốt hơn cho các biểu đồ đó, sẽ có một cách dễ dàng hơn để chứng minh điều đó.

tiêu đề của câu hỏi đề cập đến "ý nghĩa tầm thường" nhưng nội dung không xác định chính xác tiêu chí đó, vì vậy đây là một chút của một thông điệp hỗn hợp. một ví dụ / ví dụ bán chính xác gần với chủ đề chung là bằng chứng về phỏng đoán đồ thị hoàn hảo mạnh mẽ (sau đó ~ 4 thập kỷ)vào năm 2002 bởi Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour và Robin Thomas. vấn đề về độ phức tạp thuật toán của việc nhận dạng đồ thị hoàn hảo hóa ra lại gắn chặt / chặt chẽ với cơ chế chứng minh của phỏng đoán đồ thị hoàn hảo mạnh mẽ, mặc dù điều này không được hiểu chính xác hoặc biết trước khi chứng minh phỏng đoán. nói cách khác, có một phỏng đoán mở không chính thức rằng "nhận dạng đồ thị hoàn hảo nằm trong P" (hoặc "độ phức tạp thấp", v.v.) tương đối nhanh chóng được giải quyết bằng cách dựa trên phân tích / tính chất / cơ học của định lý đồ thị hoàn hảo mạnh mẽ.

Một thuật toán đa thức để nhận ra các đồ thị hoàn hảo Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003