Điểm cố định trong tính toán và logic

Câu hỏi này cũng đã được đăng trên Math.SE,

/math/1002540/fixed-point-in-computability-nd-logic

Tôi hy vọng nó cũng ổn để gửi nó ở đây. Nếu không, hoặc nếu nó quá cơ bản cho CS.SE, vui lòng cho tôi biết và tôi sẽ xóa nó.

Tôi muốn hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa định lý điểm cố định trong logic và $\lambda$ -calculus.

Lý lịch

1) Vai trò của các điểm cố định trong tính không hoàn chỉnh & tính không xác định của sự thật

Theo như tôi hiểu, ngoài ý tưởng cơ bản về logic nội tâm hóa, chìa khóa cho cả hai bằng chứng về tính không thể xác định của Tarski và định lý không hoàn chỉnh của Goedel là định lý điểm cố định logic sau đây , sống trong một công thức siêu hình mang tính xây dựng (tôi hy vọng là ok, xin vui lòng sửa cho tôi nếu một cái gì đó không chính xác hoặc không chính xác):

Sự tồn tại của các điểm cố định trong logic

Giả sử ${\mathscr T}$ là một cách đầy đủ biểu cảm, thuyết đệ quy đếm được trên ngôn ngữ ${\mathcal L}$ , và để cho ${\mathbf C}$ là một mã hóa của ${\mathcal L}$ -formulas trong ${\mathscr T}$ , có nghĩa là, một thuật toán chuyển tùy ý cũng như hình thành ${\mathcal L}$ -formulas $\varphi$ vào ${\mathcal L}$ -formulas với một biến miễn phí ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ , như vậy mà cho bất kỳ ${\mathcal L}$ -formula $\varphi$ chúng ta có ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$ .

Sau đó, có tồn tại một thuật toán ${\mathbf Y}$ quay cũng như hình thành ${\mathcal L}$ -formulas trong một biến miễn phí vào đóng tốt được hình thành ${\mathcal L}$ -formulas, như vậy mà cho bất kỳ ${\mathcal L}$ -formula trong một biến miễn phí $\phi$ chúng ta có

$${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$$ trong đó, giải thích ${\mathbf C}$ là một hàm biểu tượng được xác định $\lceil -\rceil$, Cũng có thể được viết gọn hơn như $${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$$

Nói cách khác, ${\mathbf Y}$ là một thuật toán để xây dựng các điểm cố định liên quan đến tính tương đương ${\mathscr T}$ của các dạng một biến ${\mathcal L}$.

Điều này có ít nhất hai ứng dụng:

• Áp dụng nó vào vị $\phi(v)$ bày tỏ " $v$ mã một câu mà khi khởi tạo với mã hóa riêng của mình, không phải là chứng minh." mang lại sự chính thức hóa của "Câu này không thể chứng minh được" nằm ở trung tâm của lập luận của Goedel.

• Áp dụng nó cho $\neg\phi$ cho một câu tùy ý $\phi$ mang lại sự bất khả thi cho sự thật của Tarski.

2) điểm cố định trong untyped $\lambda$ -calculus

Trong unyped $\lambda$ -calculus, việc xây dựng các điểm cố định rất quan trọng trong việc thực hiện các hàm đệ quy.

Sự tồn tại của điểm cố định trong $\lambda$ -calculus:

Có một combinator điểm cố định , tức là một $\lambda$ -term $Y$ như vậy mà cho bất kỳ $\lambda$ -term $f$ , chúng ta có

$$f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$$

Quan sát

Điều khiến tôi choáng váng là tổ hợp điểm cố định trong λ -calculus trực tiếp phản ánh, theo một cách rất sạch sẽ và không kỹ thuật, bằng chứng thông thường của định lý điểm bất hợp lý:$\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$$\lambda$

Rất gần , đưa ra một công thức , ta xem xét việc chính thức φ ( v ) của báo cáo kết quả " v mã một câu mà khi khởi tạo với chính nó, thỏa mãn φ ", và puts Một ( φ ) : = φ ( ⌈ φ ⌉ ) . Câu φ ( v ) cũng giống như λ x . f ( x x ) , và φ ( ⌈ φ ⌉ ) tương ứng với$\varphi$$\varphi(v)$$v$$\phi$${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$$\varphi(v)$$\lambda x. f(x x)$$\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ .$(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

Câu hỏi

Mặc dù ý tưởng được mô tả nhanh chóng, tôi thấy bằng chứng của định lý điểm cố định logic khá kỹ thuật và khó thực hiện trong tất cả các chi tiết; Kunen làm như vậy, ví dụ như trong Định lý 14.2 của cuốn sách 'Lý thuyết tập hợp' của mình. Mặt khác, -combinator trong λ -calculus là rất đơn giản và thuộc tính của nó có thể dễ dàng xác minh.$Y$$\lambda$

Có điểm cố định logic lý theo một cách nghiêm ngặt từ combinators điểm cố định trong -calculus?$\lambda$

Ví dụ, người ta có thể mô hình -calculus bởi L -formulas lên đến tương đương logic, do đó việc giải thích của bất kỳ combinator điểm cố định đưa ra một thuật toán như mô tả trong định lý điểm bất hợp lý?$\lambda$${\mathcal L}$

Biên tập

Theo quan điểm của nhiều trường hợp khác của cùng một đối số đường chéo được mô tả trong câu trả lời của Martin và Cody, người ta nên viết lại câu hỏi:

Có một khái quát chung của các đối số đường chéo theo nguyên tắc được thể hiện trong -combinator không? λ f . ( λ x . F ( x x ) ) ( λ x . F ( x x ) $Y$

$$\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$$

Nếu tôi hiểu chính xác thì một đề xuất là Định lý điểm cố định của Lawvere , xem bên dưới. Thật không may, tuy nhiên tôi không thể theo dõi các chuyên ngành có liên quan trong một trong những bài báo mà Martin đã trích dẫn trong câu trả lời của mình, và tôi rất vui nếu ai đó có thể giải thích chúng. Đầu tiên, để hoàn thiện:

Định lý điểm cố định của Lawvere

Hãy là một loại với sản phẩm hữu hạn và φ : Một × Một → Y như vậy mà cho bất kỳ cấu xạ f : A → Y trong C có một số ⌈ f ⌉ : 1 → Một như vậy mà cho tất cả các điểm p : 1 → Một người ta 1 p → Một f → Y = 1 p → Một ⟨ ⌈ f ⌉ , id ${\mathscr C}$$\varphi: A\times A\to Y$$f: A\to Y$${\mathscr C}$$\lceil f\rceil: 1\to A$$p: 1\to A$

$$1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$$

Sau đó, đối với bất kỳ tự đồng cấu , đặt f : = A delta → Một × Một φ → Y g → Y , bất kỳ sự lựa chọn của ⌈ f ⌉ làm phát sinh một điểm cố định của g , cụ thể là 1 ⟨ ⌈ f ⌉ , $g: Y\to Y$

$$f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$$ $\lceil f\rceil$$g$ $$1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$$

Đây là một tuyên bố trong lý thuyết thứ tự (trực giác) của các danh mục với các sản phẩm hữu hạn và do đó áp dụng cho bất kỳ mô hình nào sau này.

Ví dụ , lấy toàn thể vũ trụ lý thuyết được ấn định là lĩnh vực giảng cho nghịch lý Russel của (mất bộ giả bộ, Y : = Ω : = { 0 , 1 } và ρ : Một × Một → Ω các ∈ -predicate) và định lý Cantor (mất Một bất kỳ tập và ρ : Một × Một → Ohm tương ứng với giả thuyết surjection Một → Ohm $A$$Y := \Omega := \{0,1\}$$\rho: A\times A\to\Omega$$\in$$A$$\rho: A\times A\to \Omega$$A\to\Omega^A$). Hơn nữa, bản dịch của bằng chứng Định lý Lawvere đưa ra các lập luận đường chéo thông thường.

Vấn đề cụ thể hơn:

Ai đó có thể giải thích chi tiết một ứng dụng của Định lý Lawvere cho các hàm đệ quy một phần hoặc các định lý điểm cố định logic không? Cụ thể, những loại nào chúng ta cần xem xét ở đó?

Trong D. Pavlovic, Về cấu trúc của nghịch lý , tác giả xem xét phạm trù được tạo tự do bởi với End ( N ) các hàm đệ quy từng phần.${\mathbb N}$${\text{End}}({\mathbb N})$

Thật không may, tôi không hiểu điều này có nghĩa là gì.

Ví dụ, luật thành phần trên nên là gì? Thành phần của hàm đệ quy một phần? Xét cho cùng, người ta nói rằng lý Lawvere của áp dụng với A = Y = N , do đó đặc biệt là bất kỳ cấu xạ N → N nên có một điểm cố định 1 → N . Nếu các cấu trúc nội sinh thực sự chỉ là các hàm đệ quy một phần và nếu thành phần có nghĩa là thành phần của các hàm, thì điều này có vẻ kỳ lạ - nếu các điểm$\text{End}({\mathbb N})$$A=Y={\mathbb N}$${\mathbb N}\to{\mathbb N}$$1\to {\mathbb N}$ chỉ là các yếu tố của N , thì yêu cầu đó là sai và nếu một hình thái 1 → $1\to {\mathbb N}$${\mathbb N}$$1\to {\mathbb N}$ cũng chỉ là một hàm một phần, do đó có thể không xác định, định lý điểm cố định là tầm thường.

Thể loại mà một người thực sự muốn xem xét là gì?

Có thể mục tiêu là để có được định lý điểm cố định của Rogers, nhưng sau đó người ta nên xây dựng một mã hóa các hàm đệ quy một phần bằng các số tự nhiên thành định nghĩa của thể loại và tôi không thể tìm ra cách thực hiện điều này.

Tôi rất vui nếu ai đó có thể giải thích việc xây dựng bối cảnh áp dụng Định lý điểm cố định của Lawvere, đưa ra một định lý điểm cố định logic hoặc một định lý điểm cố định cho các hàm đệ quy một phần.

Cảm ơn bạn!

Có lẽ tôi không trực tiếp trả lời câu hỏi của bạn, nhưng có một khái quát toán học chung của rất nhiều nghịch lý, bao gồm các định lý của Gôdel và tổ hợp Y. Tôi nghĩ rằng điều này lần đầu tiên được khám phá bởi Lawvere. Xem thêm [2, 3].

1. FW Lawvere, các đối số đường chéo và các thể loại đóng cartesian .

2. D. Pavlovic, Về cấu trúc của nghịch lý .

3. NS Yanofsky, Cách tiếp cận phổ biến đối với các nghịch lý tự tham chiếu, không đầy đủ và các điểm cố định .

Tôi không có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi của bạn, nhưng tôi có điều này:

Theo Wikipedia nói

Đối với mọi hàm đệ quy một phần $Q(x, y)$ tồn tại một chỉ số $p$ như vậy mà

$$\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$$ Ở đâu $\varphi$ là một sự lựa chọn giữa $\mathbb{N}$ và các hàm đệ quy một phần.

Bây giờ khá rõ ràng rằng định lý này là hệ quả của định lý điểm cố định trong $\lambda$-calculus. Chúng ta có thể sử dụng điều này để chứng minh một biến thể của định lý điểm cố định logic:

Đối với mọi công thức $\phi$ và lý thuyết lại ${\mathscr T}$ chứa số học, tồn tại một chỉ mục $n$ như vậy mà

$${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$$

This isn't quite what you want, but an internalization trick can give you the stronger statement

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

Now again, this is not quite the logical fixed-point theorem, but it can serve the same purpose.

Proof: Define $Q(x,y)$ to be the recursive function defined by

$$Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$$ It is easy to see that $Q$ is (total) recursive. Note that $\exists y, Q(x, y)$ expresses the fact "${\mathscr T}$ proves $\phi(\overline{x})$", and that this is true iff ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ (we are assuming $\omega$-consistency). Now a simple application of the Kleene Recursion Theorem on $Q$ gives us the desired conclusion. $\square$

With a little thought, you can probably strengthen this argument to give you the full theorem directly without the internalization.