Đơn giản chỉ cần gõ tính toán lambda và logic thứ tự cao hơn

Mối quan hệ giữa tính toán lambda đơn giản và logic bậc cao là gì?

Theo Curry-Howard, dường như chỉ cần gõ tính toán lambda tương ứng với logic mệnh đề. Làm thế nào nó liên quan đến logic thứ tự cao hơn? Theo hướng dẫn này của Geuvers: http://typessummerschool07.cs.unibo.it/cifts/geuvers-1.pdf ngôn ngữ của HOL dường như là STT. Không nên là PROP? Điều đó nghĩa là gì?

Giáo hội có trong tâm trí HOL khi định nghĩa STT không?

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
nguồn

Vâng, Giáo hội đã có HOL trong tâm trí. Mẹo để có được HOL từ STT là sử dụng đẳng thức , ngoài ứng dụng hàm và trừu tượng hóa hàm. Sau đó, bạn có thể viết dưới dạng , trong số những người khác. Tôi thích "Bảy đức hạnh của lý thuyết loại đơn giản" như là một giới thiệu về STT, trong đó giải quyết loại câu hỏi này. Có lẽ tôi nên viết một câu trả lời ...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— Thomas Klimpel

Vậy, khi nói về Curry-Howard, logic chính xác tương đương với STT là gì? HOL hay PROP?

— lambda2

Đối với Curry-Howard, nó không nghĩ rằng đó sẽ là HOL. Có lẽ đó là đoạn nhân của PROP trực giác, tức là PROP trực giác mà không có "hoặc". Nhưng đó là cho CCC (loại đóng cartesian), và hiện tại tôi hơi mệt. Lambda có thể sẽ được dịch là "hàm ý", đó là "hàm mũ" trong CCC. "Sản phẩm" từ CCC là "và", vì vậy bạn sẽ cần một "cặp" trong STT cho điều đó. Và "hoặc" sẽ là một loại "tổng" trong STT, tức là một liên minh rời rạc, có thể là nếu "a" thì "b" khác "c" thực hiện điều đó.

— Thomas Klimpel

Tôi nghĩ rằng tôi đang nhầm lẫn một cái gì đó (hoặc tất cả mọi thứ). Nếu STT ~ = PROP (thông qua Curry-Howard) và STT cũng là HOL, thì tôi có thể sử dụng PROP theo nghĩa nào đó để có HOL?

— lambda2

@ThomasKlimpel: bạn nên biến bình luận của mình thành câu trả lời.

— cody

Điểm khác biệt là: nếu STLC được sử dụng như một ngôn ngữ nguyên thủy ở các hàm tạo thêm cấp độ loại và một số ít tiên đề là đủ để cung cấp cho bạn toàn bộ sức mạnh biểu cảm của HOL.

Lấy làm loại cơ sở của số ans làm loại cơ sở của các mệnh đề, bạn có thể thêm các hằng số $\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

trong đó là một loại tùy ý (vì vậy một hằng cho mỗi loại). Một bộ tiên đề có thể có: $\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

trong đó có nghĩa là giả thuyết bị loại bỏ . Thực tế thú vị: các kết nối khác ... có thể được bắt nguồn từ chỉ 2 kết nối đó. $[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

Sự tinh tế được phân biệt giữa -terms như một cách để thể hiện bằng chứng, như được chứng minh bởi sự tương ứng của Curry-Howard-de Bruijn (Martin-Löf), hoặc như một cách để thể hiện các điều khoản mà bạn suy luận. Hai quan điểm là không tương thích, tất nhiên. $\lambda$

Đặc biệt, có một -calculus đánh máy trung thành đại diện cho HOL (tất nhiên trừ các tiên đề khác nhau). Điều này xảy ra là một hệ thống con của Tính toán công trình và được mô tả chi tiết bởi Geuvers trong Tính toán công trình và logic bậc cao . Ông cũng nêu chi tiết về sự khác biệt giữa hai người (CoC không phải là một phần mở rộng bảo thủ của HOL). $\lambda$

— cody
nguồn

Tôi quên lưu ý: bạn có thể tránh thêm và nếu bạn thêm cùng với một số tiên đề thông minh, đó là những gì Thomas đang đề xuất.

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

— cody

Những tiên đề thông minh đó là gì? Tôi đoán điều này có liên quan đến việc cung cấp một cách để chứng minh sự bình đẳng Ngoài ra, bạn có biết một cái tên để phân biệt rõ ràng các cấp độ mở rộng HOL không? (với đẳng thức, sau đó với loại đa hình, sau đó với các loại phụ thuộc).

— Hibou57

@ Hibou57 các tiên đề được nêu trong bài viết xuất sắc Bảy lý thuyết về loại hình đơn giản . Tôi không biết rằng có những tên rõ ràng để phân biệt các phần mở rộng khác nhau của STT, ngoài những tên bạn đã sử dụng.

— cody