Đặc điểm kỹ thuật tối thiểu của lý thuyết loại Martin-Löf

Tôi đang đọc bài trình bày chính thức về lý thuyết loại Martin-Löfs (phụ lục của cuốn sách HoTT ). Các tác giả giới thiệu một hệ thống phân cấp các vũ trụ, sau đó và cả -types cũng như các số tự nhiên (tự cảm thông qua và ). Cuối cùng, họ thêm các loại quy nạp cao hơn quá.W N 0 s u c $\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

Nhưng sau đó tôi tự hỏi tại sao cần phải làm trong đặc tả lý thuyết. Không và và các kiểu dữ liệu đại số , trong trường hợp có W -types, có đủ để thiết lập nó không? Ví dụ với cách tiếp cận đại số ban đầu . (Hoặc ít nhất sau khi chúng tôi chuyển từ MLTT sang HoTT có các loại quy nạp - xét cho cùng, các số nguyên xuất hiện dưới dạng nhóm đồng luân của loại vòng tròn trong lý thuyết.)1$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

Hoặc có liên quan đến nhu cầu của chúng ta để có đệ quy nguyên thủy ngay từ đầu, được xác định ngay bên cạnh trong bản trình bày không? Đây là một ý tưởng mà tôi có bởi vì tôi hoàn toàn không biết "định nghĩa được định nghĩa" trong khung đó như thế nào, hay cách mở rộng ngôn ngữ hoạt động, chính thức. Tôi có thể thêm rằng tôi nhận ra rằng ít nhất một khái niệm không chính thức về số và "lớn hơn" đã được sử dụng khi hệ thống phân cấp của vũ trụ được xác định.$\mathbb N$

Trong trường hợp người ta có thể dự phòng và thông số kỹ thuật không phải là tối thiểu, về nguyên tắc, người ta có thể bỏ đi những thứ khác không? Ví dụ: tôi có thể tưởng tượng và sau đó đến từ một số kết hợp của , nhưng tôi không thể làm điều đó. 2 + Π , Σ , 0 , $\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

Mục đích của hệ thống được mô tả trong phần phụ lục của sách HoTT là để trình bày một cái gì đó tương ứng với những gì được sử dụng bởi cuốn sách. Cuốn sách hướng đến mục đích giáo dục. Do đó, sẽ là một ý tưởng tồi khi làm mọi thứ theo cách tối giản. Ví dụ: chúng tôi giới thiệu riêng vì đây là hướng dẫn để xem cách các công trình quy nạp hoạt động trong một trường hợp quen thuộc.$\mathbb{N}$

Bạn hoàn toàn chính xác, để bắt đầu các loại quy nạp từ -types chung, bạn chỉ cần và . Bạn ngay lập tức có được như 0 → 0 , và bạn sẽ có được + từ 2 và Σ . Một khi bạn đã có, bạn sẽ có được toàn bộ số tiền hữu hạn 1 + 1 + ⋯ + 1 . Tại thời điểm này, thật dễ dàng để làm các kiểu dữ liệu đại số thông thường.0 2 $W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

Nếu bạn thả , vì vậy bạn bắt đầu từ Π , Σ , 1 và 2 , sau đó bạn không thể nhận được 0 trở lại bởi vì tất cả các loại bạn thực hiện sẽ có người ở.$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

Giả sử bạn chỉ có , Σ , 0 và 1 . Sau đó, bạn không thể thực hiện 2 vì bạn có thể chỉ ra rằng mọi công trình bạn thực hiện sẽ trả lại cho bạn 0 hoặc 1 . Trong thực tế, bạn không thể làm cho bất kỳ gia đình phụ thuộc thú vị nào cả. Một gia đình lớn thuộc loại trong nước đã bị đóng dưới Π , Σ , 0 và 1 , nhưng không chứa 2 là ( - 1 ) -types (mệnh đề).$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$