Là phức tạp Kolmogorov là một chức năng so sánh?

Chúng ta hãy sửa mã hóa máy Turing và máy Turing phổ dụng, U, trên đầu vào (T, x) xuất ra bất cứ thứ gì T xuất ra trên đầu vào x (có thể cả hai chạy mãi mãi). Xác định độ phức tạp Kolmogorov của x, K (x), là độ dài của chương trình ngắn nhất, p, sao cho U (p) = x.

Có một N sao cho tất cả n> N có một x với K (x) = n?

Ghi chú. Nếu chúng ta định nghĩa các máy Turing phổ dụng theo một cách khác, câu trả lời có thể là tiêu cực. Ví dụ, hãy xem xét một chữ U trên đầu vào (T, x) mô phỏng T trên x nếu độ dài của (T, x) chia hết cho 100 và nếu không thì không có gì. Người ta có thể sửa đổi ví dụ này theo nhiều cách để có được các mẫu đối với các định nghĩa khác nhau về máy Turing phổ dụng.

— động vật
nguồn

Xa những gì bạn đang yêu cầu, nhưng tôi nghĩ rằng nó không phải là khó khăn để chứng minh rằng hình ảnh của

có mật độ tuyến tính tích cực bất kể

. Điều này ngụ ý ví dụ rằng

là vô cùng thường xuyên tổng hợp.

K

$K$

U

$U$

K (x)

$K(x)$

— Dan Brumleve

Chỉ là một nhận xét mở rộng không có hiểu biết sâu sắc: có lẽ bạn có thể gian lận trong việc mã hóa máy Turing và xây dựng một mã hóa nhân tạo dẫn đến độ phức tạp Kolmogorov giả định:

$0$ $0$
$0p$ $p+1$ $p$ $p+1$
$1p$ $p+1$ $0$ $0p$

$bx$ $b$ $0$ $x+1$ $M_{x+1}$ $M_0$ $x$ $M_{x+1}$

$x$ $1 \leq K(x) \leq |x|+1$ $n \geq 1$ $2^{n}$ $n$ $2^{n-1}-1$ $< n$ $1p$ $2^{n}-1$ $n$ $1p$ $x'$ $n$ $1p$ $\leq n$ $0x'$ $n+1$ $1p$ $n+1$

$n > 1$ $x', |x'|=n$ $K(x') = n+1$

— Marzio De Biasi
nguồn