Tác động của chương trình của Grothendieck đến TCS

Grothendieck đã qua đời . Ông đã có tác động lớn đến toán học thế kỷ 20 tiếp tục vào thế kỷ 21. Câu hỏi này được hỏi phần nào theo phong cách / tinh thần, ví dụ, về những đóng góp của Alan Turing cho Khoa học máy tính .

Là gì Grothendieck 's ảnh hưởng lớn về khoa học máy tính lý thuyết?

Sự bất bình đẳng của Grothendieck , từ những ngày ông phân tích chức năng, ban đầu được chứng minh là liên quan đến các tiêu chuẩn cơ bản trên không gian sản phẩm tenor. Grothendieck gọi bất đẳng thức là "định lý cơ bản của lý thuyết số liệu về không gian sản phẩm tenor", và đã công bố nó trong một bài báo nổi tiếng hiện nay vào năm 1958, bằng tiếng Pháp, trong một tạp chí hạn chế lưu hành ở Brazil. Bài viết đã bị bỏ qua phần lớn trong 15 năm, cho đến khi nó được Lindenstrauss và Pelczynski khám phá lại (sau khi Grothendieck rời khỏi phân tích chức năng). Họ đã đưa ra nhiều cải cách về kết quả chính của bài báo, liên quan đến nghiên cứu về các tổng điều hành và các chỉ tiêu nhân tố hóa hoàn toàn, và quan sát thấy Grothendieck đã giải quyết các vấn đề "mở" đã được nêu ra sau đóbài báo đã được xuất bản Pisier đưa ra một tài khoản rất chi tiết về sự bất bình đẳng, các biến thể của nó và ảnh hưởng to lớn của nó đối với phân tích chức năng trong khảo sát của mình .

max { Σ i , j một i j ⟨ u i , v j ⟩ : u 1 , ... , u m , v 1 , ... , v n ∈

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ S n + m - 1 R n + $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. Bằng chứng về sự bất bình đẳng đưa ra "thuật toán làm tròn", và trên thực tế, phép làm tròn siêu phẳng ngẫu nhiên Goemans-Williamson thực hiện công việc (nhưng đưa ra hằng số dưới mức tối ưu). Tuy nhiên, bất đẳng thức của Grothendieck rất thú vị bởi vì việc phân tích thuật toán làm tròn phải là "toàn cầu", tức là xem xét tất cả các thuật ngữ của hàm mục tiêu cùng nhau.

Đã nói điều này, không có gì đáng ngạc nhiên khi sự bất bình đẳng của Grothendiecks đã tìm thấy một cuộc sống thứ hai (thứ ba? Thứ tư?) Trong khoa học máy tính. Khot và Naor khảo sát nhiều ứng dụng và kết nối của nó để tối ưu hóa tổ hợp.

Câu chuyện không kết thúc ở đó. Sự bất bình đẳng có liên quan đến vi phạm bất bình đẳng của Bell trong cơ học lượng tử (xem bài viết của Pisier), đã được Linial và Shraibman sử dụng trong công việc về độ phức tạp trong giao tiếp, và thậm chí còn hữu ích trong công việc phân tích dữ liệu riêng tư (phích cắm không biết xấu hổ).

Tác động của Grothendieck có thể được cảm nhận trong lý thuyết loại và logic. Chẳng hạn, 700+ trang của Bart Jacobs Lý thuyết phân loại và lý thuyết loại đưa ra một cách xử lý thống nhất các lý thuyết loại khác nhau (lý thuyết -type, trong đó ) dựa trên khái niệm phân loại của các tiêu chuẩn Grothendieck (còn được gọi là các tiêu chuẩn cartesian). Tương tự, khái niệm Topos , cũng do Grothendieck, đóng một vai trò nặng nề trong việc cung cấp ngữ nghĩa phân loại cho logic và lý thuyết loại, được các nhà logic học và các nhà khoa học máy tính lý thuyết quan tâm.X ⊆ { đơn giản , phụ thuộc , đa hình , bậc cao $X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

Bất kỳ ứng dụng của cohomology -adic, etale cohomology trong các công thức đếm điểm cho các giống đại số đều có nguồn gốc trong công việc của mình.$p$

Tôi đoán tầm nhìn của Mulmuley về khái quát hóa giả thuyết Riemann đối với các lĩnh vực hữu hạn đến từ các phỏng đoán của Weil có thể được coi là đặt câu hỏi mà ban đầu có kết quả tốt đẹp từ hệ thống đồng biến của Grothendieck.