Tại sao HAMILTONIAN CYCLE lại khác với PERMANENT?

Một đa thức là một dự báo đơn điệu của một đa thức nếu = nhiều , và có sự phân $f(x_1,\ldots,x_n)$ $g(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $(n)$ Mà . Nghĩa là, có thể thay thế từng biến của bằng một biến hoặc hằng số hoặc để đa thức kết quả trùng với . $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$ $y_j$ $g$ $x_i$ $0$ $1$ $f$

Tôi đang quan tâm (lý do) Sự khác biệt giữa PER đa thức thường trực và các chu trình Hamilton HAM đa thức: nơi tổng đầu tiên là trên tất cả các hoán vị

{PER}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)} and {HAM}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)}

$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$

và lần thứ hai chỉ trên tất cả cáchoán vịtuần hoàn

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

Câu hỏi: Tại sao HAM không phải là phép chiếu đơn điệu PER? Hay nó vẫn còn?

Tôi không yêu cầu bằng chứng , chỉ vì lý do trực quan.

Động lực: mạch đơn điệu nổi tiếng lớn nhất thấp hơn bị ràng buộc đối PER (chứng minh bằng Razborov) vẫn còn "chỉ" . Mặt khác, kết quả của Valiant ngụ ý rằng nơi với tổng là trên tất cả các tập con kích thước $n^{\Omega(\log n)}$

CLIQUE_{n} is a monotone projection of HAM_{m}

$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$

{CLIQUE}_{n} (x) = \sum_{S} \prod_{i < j \in S} x_{i, j}

$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$

S \subseteq [n]

$S\subseteq [n]$

. Bản thân tôi không thể có được mức giảm "đơn giản, trực tiếp" từ những kết quả chung này, nhưngtuyên bố củaAlon và Boppana(trong Bài 5) đã có

là đủ cho mức giảm này.

| S | = \sqrt{n}

$|S|=\sqrt{n}$

m = 25 n^{2}

$m=25n^2$

Nhưng chờ đợi: nó cũng được biết rằng bè lũ đòi hỏi mạch đơn điệu của kích thước (lần đầu tiên chứng minh bởi Alon và Boppana sử dụng phương pháp Razborov của). $2^{n^{\Omega(1)}}$

Vì vậy, HAM là một phép chiếu đơn điệu của PER, chúng ta sẽ có giới hạn dưới cho PER. $2^{n^{\Omega(1)}}$

Trên thực tế, tại sao HAM thậm chí không phải là phép chiếu PER không đơn điệu ? Trong semiring boolean, cựu là NP -complete, trong khi sau này là tại P . Nhưng tại sao? Đâu là một nơi mà chu kỳ cho một hoán vị làm cho nó rất đặc biệt?

PS Một sự khác biệt rõ ràng có thể là: HAM bao gồm [n] chỉ bằng một chu kỳ (dài), trong khi PER có thể sử dụng có thể tách rời các chu kỳ cho việc này. Do đó, để chiếu PER đến HAM, hướng cứng dường như là: đảm bảo rằng sự vắng mặt của chu trình Hamilton có nghĩa là không có bất kỳ sự che phủ nào với các chu kỳ rời rạc trong biểu đồ mới. Đây có phải là lý do cho HAM không phải là một phép chiếu của PER?

PPS Trên thực tế, Valiant đã chứng minh một kết quả ấn tượng hơn: mọi đa thức với , có hệ số là thời gian tính toán được , là một phép chiếu (không nhất thiết là đơn điệu nếu algo không đơn điệu) của HAM với = poly $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$ $c_u\in\{0,1\}$ $c_u$ $_m$ $m$ $(n)$ . PER cũng có thuộc tính này, nhưng chỉ trên các trường có đặc tính . Vì vậy, trong ý nghĩa này, HAM và PER là thực sự "tương tự", trừ khi chúng tôi đang không ở trong GF (2) ở đâu, như Bruno nhớ, PER quay sang yếu tố quyết định, và rất dễ dàng. $\neq 2$

— Stasys
nguồn

Tôi có một câu hỏi một chút ra khỏi chủ đề. Tôi có thể hỏi tại sao PERMANENT lại ở P trong kỳ tuyển sinh boolean không? Tôi không biết về một thuật toán như vậy.

— caozhu

@caozhu: Điều này đơn giản là vì PERMANENT giống như XÁC ĐỊNH đối với việc bán kết quả boolean. Thuật toán sau đó là bất kỳ thuật toán DETERMINANT.

— Bruno

@Bruno: không hẳn. Bạn đúng nếu chúng ta ở trong trường GF (2); sau đó chúng ta có thể sử dụng, nói, Gauss. Tuy nhiên, boolean

mạch cho PER kích thước khoảng

có thể được xây dựng bằng thuật toán Hopcroft-Karp cho phù hợp tối đa, hoặc chỉ Floyd-Fulkerson thuật toán tối đa lỗ hổng.

{\lor, \land, \neg}

$\{\lor,\land,\neg\}$

n^{5 / 2}

$n^{5/2}$

— Stasys

Sau đây là một bằng chứng về bất kỳ vòng số 0 đặc trưng nào cho thấy đa thức chu kỳ Hamilton không phải là phép chiếu đơn điệu kích thước đa thức của vĩnh viễn. Ý tưởng cơ bản là các phép chiếu đơn thức của đa thức với các hệ số không âm dẫn đến đa giác Newton của một dạng là một công thức mở rộng của đa giác Newton của mặt kia, và sau đó áp dụng các giới hạn thấp gần đây trên các công thức mở rộng.

$f(x_1,\dotsc,x_n)$ $g(y_1,\dotsc,y_m)$ $f$ $g$ $\pi$ $\pi$ $g$ $f$

$New(f)$ $f$ $New(g)$

$New(f)$ $\mathbb{R}^m$ $\leq n+m$ $n+m$ $New(g)$

$e_1,\dotsc,e_m$ $\mathbb{R}^m$ $New(g)$ $\mathbb{R}^m$ $(e_1,\dotsc,e_m)$ $y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$ $i$ $\pi(y_i)=0$ $New(g)$ $\{e_i = 0\}$ $y_i$ $m$ $P$ $\pi$ $L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ $L_{\pi}(P) = New(f)$ $New(f)$ $n+m$ $P$ $m$ $L_{\pi}$ $n$ $x_i$

$f$ $n$ $g$ $m$ $f$ $g$ $e_{ij}$ $m$

$2^{n^{\Omega(1)}}$ $m$ $L_{\pi}$

$f$ $g$ $\pi$ $L_{\pi}$ $New(f)$

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

— Joshua Grochow
nguồn

một lập luận rất hay. Đây chính xác là những gì tôi tìm kiếm! Thật vậy, các công thức LP mở rộng mô phỏng các dự đoán của Valiant (ít nhất là đơn điệu).

— Stasys