Liệt kê các đồ thị phẳng của băng thông bị ràng buộc

Tôi đang tìm tài liệu tham khảo cho bài toán sau: các số nguyên và k đã cho , liệt kê tất cả các đồ thị phẳng không đẳng hình trên n đỉnh và treewidth ≤ k . Tôi quan tâm đến cả kết quả lý thuyết và thực tế, nhưng chủ yếu là các thuật toán thực tế có thể viết mã và chạy với giá trị càng lớn càng tốt của n và k (nghĩ k ≤ 5 và n ≤ 15 ). Nếu bạn đã có câu trả lời, hãy bỏ qua những lời huyên thuyên dưới đây.$n$$k$$n$$\leq k$$n$$k$$k \leq 5$$n \leq 15$

Cách tiếp cận sau đây hoạt động khá ổn khi liệt kê tất cả các đồ thị không đẳng hình trên đỉnh và treewidth ≤ k (nghĩa là khi bỏ giới hạn phẳng):$n$$\leq k$

(a) Liệt kê tất cả các đồ thị không đẳng hình trên đỉnh và treewidth ≤ k .$n-1$$\leq k$

(b) Đối với mỗi đỉnh trên n - 1 đỉnh và treewidth ≤ k , mỗi phe nhóm C trên ≤ k đỉnh trong G và mỗi tập con S của các cạnh trong C , làm cho G ' từ G - S bằng cách thêm một đỉnh mới v tiếp giáp với C . Thêm G ' vào danh sách L của grahs trên n đỉnh và treewidth ≤ k .$G$$n-1$$\leq k$$C$$\leq k$$G$$S$$C$$G'$$G - S$$v$$C$$G'$${\cal L}$$n$$\leq k$

(c) Cắt bằng cách loại bỏ các bản sao của cùng một biểu đồ.${\cal L}$

Một cách hấp dẫn để mở rộng điều này để liệt kê các đồ thị phẳng của treewidth là chỉ cần lọc ra các đồ thị không phẳng ở mỗi lần lặp. Thật không may, điều này không tạo ra tất cả các đồ thị phẳng của treewidth ≤ k (ví dụ vì nó chỉ liệt kê 4 đồ thị phân cấp).$\leq k$$\leq k$$4$

Tất nhiên chúng ta có thể liệt kê tất cả các đồ thị trên đỉnh và treewidth ≤ k và chỉ sau đó lọc ra các đồ thị không phẳng, nhưng điều này không khai thác được rằng hầu hết các đồ thị đều không phẳng và có vẻ rất tối ưu.$n$$\leq k$

Có một phần mềm đẹp tạo ra các đồ thị phẳng nhỏ liên quan đến đẳng cấu có thể giúp ích. Như tôi thấy một trong những vấn đề là tạo ra các đồ thị phẳng không đẳng hình và hầu hết các đồ thị phẳng đó (trên dưới 15 đỉnh) là treewidth nhỏ.

$k$$G$$G$$P$$d$$v\in P$$l$$u\in G\setminus P$$w\in P$$G$$d+l$$k$

$15$$4$$t$$t>5$

$k$$G$

$G,B$$G$$k$$B$$k$$G$$B$

$G,B$$G$$n-1$$G'$$S$$B$$v$$S$$B'$$k$$B \cup v$$G',B'$$G'$

Một giới hạn trên dễ dàng về số lượng mục mà một người cần lưu trữ là lần số lượng biểu đồ được liệt kê nhưng đây là một ràng buộc bi quan. Đối với hầu hết các đồ thị của treewidth k, hầu hết các tập hợp con có kích thước k không thể ba túi, ví dụ: lưới chỉ có túi có thể.$n \choose k$$k \times n$$n \cdot 3^{k-1}$

Tôi tin rằng điều này sẽ thực hiện cũng như thuật toán cho các đồ thị không phẳng vì với mỗi cặp G, B chúng ta có được một đồ thị bằng cách biến B thành một cụm, hầu hết các đồ thị này sẽ không đẳng hình.

Có một số thủ thuật người ta có thể áp dụng để tăng tốc độ này, tôi khuyên bạn nên xem xét: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf