Thuật toán lợi thế của băng thông trên treewidth

Cây thông đóng vai trò quan trọng trong các thuật toán của FPT, một phần vì nhiều vấn đề được FPT tham số hóa bởi treewidth. Một khái niệm liên quan, hạn chế hơn, đó là về băng thông. Nếu một đồ thị có độ rộng đường dẫn , thì nó cũng có treewidth nhiều nhất là , trong khi theo hướng ngược lại, treewidth chỉ ngụ ý băng thông đường dẫn nhiều nhất là và điều này rất chặt chẽ. $k$ $k$ $k$ $k\log n$

Với những điều trên, người ta có thể hy vọng rằng có thể có một lợi thế thuật toán đáng kể cho các biểu đồ về độ rộng đường dẫn bị ràng buộc. Tuy nhiên, dường như hầu hết các vấn đề của FPT đối với một tham số là FPT đối với thông số khác. Tôi tò mò muốn biết về bất kỳ ví dụ phản tác dụng nào cho vấn đề này, đó là các vấn đề "dễ" đối với băng thông nhưng "khó" đối với treewidth.

Hãy để tôi đề cập rằng tôi đã có động lực để đặt câu hỏi này bằng cách chạy vào một bài báo gần đây của Igor Razgon ("Trên các OBDD cho CNF của treewidth bị ràng buộc", KR'14) đã đưa ra một ví dụ về một vấn đề với giải pháp khi là độ rộng đường dẫn và a (đại khái) giới hạn dưới khi là treewidth. Tôi tự hỏi nếu có tồn tại mẫu vật khác với hành vi này. $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

Tóm tắt: Có bất kỳ ví dụ nào về các vấn đề tự nhiên được W-hard tham số hóa bởi treewidth nhưng FPT được tham số hóa bằng băng thông không? Rộng hơn, có những ví dụ về các vấn đề mà độ phức tạp được biết / tin là tốt hơn nhiều khi được tham số hóa bằng đường dẫn thay vì treewidth?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— Michael Lampis
nguồn

Có những vấn đề dễ dàng trên các con đường nhưng NP-Hard trên cây. Chúng bao gồm multicut tối thiểu và multiflow tối đa.

— Chandra Chekuri

@ChandraChekuri Đây là một điểm tốt, nhưng các thuật toán cho các đường dẫn cho các vấn đề như vậy thường khái quát đến băng thông đường dẫn? Ví dụ, đối với đa số nguyên tối đa, tôi nghĩ rằng đây không phải là trường hợp. Garg, Vazirani và Yannakakis đã chứng minh độ cứng NP cho cây trong "Thuật toán xấp xỉ kép - tối ưu cho dòng tích phân và multicut trong cây". Việc giảm ở đó sử dụng một cây có chiều cao 3. Điều này có nghĩa là vấn đề là NP-hard cho băng thông đường dẫn không đổi.

— Michael Lampis

Đây một lần nữa không phải là một câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi ban đầu. Khoảng cách cắt dòng chảy trong đồ thị k băng thông được biết là bị giới hạn bởi f (k) cho một số hàm f thông qua kết quả của Lee và Sidiropoulos. Đây là một vấn đề mở quan trọng cho dù kết quả như vậy có đúng với treewidth hay không. Trường hợp k = 3 được mở cho treewidth.

— Chandra Chekuri

Các thuật toán tốt nhất cho Hamilton Chu kỳ tham số bởi pathwidth có thời gian chạy

(arxiv.org/abs/1211.1506) trong khi treewidth tốt nhất là

(arxiv.org/abs/1103.0534) Tuy nhiên, đây có lẽ chỉ là một khoảng trống đang chờ đóng.

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— daniello

Nó được chỉ ra rằng [1] Vấn đề Người đưa thư Trung Quốc hỗn hợp (MCPP) được tham số hóa bởi độ rộng đường dẫn là -hard, ngay cả khi tất cả các cạnh và cung của đồ thị đầu vào có trọng số và là FPT liên quan đến tốc độ. Đây là vấn đề đầu tiên nhận thức được rằng đã được chứng minh là có liên quan đến treewidth nhưng FPT liên quan đến treedepth. Lưu ý rằng độ rộng đường dẫn của đồ thị nằm giữa treewidth và treedepth. $W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

Vấn đề Steiner Multicut, yêu cầu, đưa ra một đồ thị vô hướng , một bộ sưu tập , , của các tập kích thước đầu cuối có nhiều nhất là và một số nguyên , cho dù có một tập hợp có nhiều nhất cạnh hoặc các nút sao cho mỗi tập hợp ít nhất một cặp bến là trong thành phần kết nối khác nhau của . $G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

$W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/doad/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— Xu Xu
nguồn