Thuộc tính rõ ràng trong 2-CNF hoặc 2-SAT

Làm thế nào một người cho thấy rằng một tài sản nhất định không thể được thể hiện trong 2-CNF (2-SAT)? Có trò chơi nào, chẳng hạn như trò chơi cuội không? Có vẻ như trò chơi cuội đen cổ điển và trò chơi cuội đen trắng không phù hợp với điều này (chúng đã hoàn thành PSPACE, theo Hertel và Pitassi, SIAM J của Computing, 2010).

Hoặc bất kỳ kỹ thuật nào khác ngoài các trò chơi?

Chỉnh sửa : Tôi đã nghĩ về các thuộc tính liên quan đến việc đếm (hoặc cardinality) của một vị từ không xác định ( vị từ SO , như các nhà lý thuyết mô hình hữu hạn sẽ nói). Ví dụ, như trong Clique hoặc không có trọng số Kết hợp. (a) Clique : Có một cụm $C$ trong đồ thị $G$ sao cho $|C| \ge$ một số số lượng nhất định $K$ ? (b) Kết hợp : Có một hợp M trong G mà ?$~$$M$$G$$|M| \ge K$

Có thể đếm 2-SAT không? Liệu nó có một cơ chế đếm? Có vẻ nghi ngờ.

Một nhóm bitvector là lớp giải pháp cho vấn đề 2-SAT khi và chỉ khi nó có thuộc tính trung bình: nếu bạn áp dụng hàm đa số bitwise cho bất kỳ ba giải pháp nào bạn sẽ có giải pháp khác. Xem ví dụ: https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfisf và tài liệu tham khảo của nó. Vì vậy, nếu bạn có thể tìm thấy ba giải pháp mà điều này không đúng, thì bạn biết rằng nó không thể được thể hiện trong 2-CNF.

Hãy để là một tài sản trên n biến. Giả sử rằng có một 2CNF công thức φ ( x 1 , ... , x n , y 1 , ... , y m ) như vậy mà P ( x 1 , ... , x n ) ⇔ ∃ y 1 ⋯ ∃ y m φ ( x $P(x_1,\ldots,x_n)$$n$$\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ Chúng tôi cho rằng φ là tương đương với một công thức 2CNF ψ liên quan đến chỉ x 1 , ... , x n . Để chứng minh điều này, nó là đủ để chỉ ra cách loại bỏ y m . Viết φ = χ ∧ s ⋀ k = 1 ( y m ∨ U k ) ∧ t ⋀ ℓ

$$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$$ $\varphi$$\psi$$x_1,\ldots,x_n$$y_m$ nơiUk,Vℓlà literals, vàχkhông liên quan đếnym. Công thứcφlà tương đương với χ∧( ¯ y m ⇒ s ⋀ k = 1 Uk)∧(ym⇒ t ⋀ ℓ = 1 Vℓ $$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$$ $U_k,V_\ell$$\chi$$y_m$$\varphi$ Điều này chứng tỏ yêu cầu bồi thường khi y m không xuất hiện trong một điều khoản đơn vị; nếu có, chúng ta có thể loại bỏ nó trực tiếp. $$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$$ $y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$$\psi(x_1,\ldots,x_n)$$P$$P$$K$$K$$n$

$L$ $-$$L$

(Vâng, tôi biết rằng các hàm cộng, nhân và đếm tính toán, nhưng thật dễ dàng để chuyển đổi chúng thành các phiên bản quyết định cho các vấn đề tương ứng của chúng.)

$L \subseteq NL$$NL$$AC^0$$AC^0$

(c) Vì vậy, để đếm , mặc dù bạn có thể không có được biểu thức tương đương trong 2-CNF, bằng cách sử dụng phương pháp được nêu trong (b), bạn có thể có được biểu thức 2-CNF tương xứng .

Vì vậy, có, 2-SAT có thể tính.

$NL$$|M|$$NL$