Ý nghĩa của các biến thể giả thuyết Riemann trong TCS

Giả thuyết Riemann hơn 1 thế kỷ có ý nghĩa sâu sắc trong toán học và một kiến ​​thức lớn về lý thuyết toán học hiện được chứng minh có điều kiện trên nó và nhiều biến thể. Gần đây tôi đã bắt gặp một tài liệu tham khảo về một kết quả có điều kiện trong TCS dựa trên giả thuyết Riemann. Do đó tôi đang tự hỏi,

ý nghĩa chính của giả thuyết Riemann trong TCS là gì?

Bắt đầu ở đây là một ví dụ từ một bài báo gần đây, Đa thức Homomorphism hoàn thành cho VP của Durand, Mahajan, Malod, de Rugy-Altherre và Saurab. Từ phần giới thiệu của bài báo:

Một trong những câu hỏi mở quan trọng nhất trong lý thuyết phức tạp đại số là quyết định xem các lớp VP và VNP có khác biệt hay không. Các lớp này, được định nghĩa đầu tiên bởi Valiant trong [13, 12], là các dạng tương tự đại số của các lớp phức tạp Boolean P và NP, và tách chúng là điều cần thiết để tách P khỏi NP (ít nhất là không đồng nhất và giả sử Giả thuyết Riemann tổng quát, trên trường , [3]).$\mathbb{C}$

Đầu tiên, tôi không biết về bất kỳ ứng dụng CS nào của giả thuyết Riemann như vậy. Có nhiều ứng dụng tổng quát hóa của RH.

Thứ hai, một lưu ý về thuật ngữ: trái với niềm tin phổ biến, không có gì gọi là giả thuyết Riemann khái quát, hay giả thuyết Riemann mở rộng. Cả hai thuật ngữ này đều được sử dụng ít nhiều có thể hoán đổi cho nhau trong tài liệu như là một biểu thị lỏng lẻo của bất kỳ loại khái quát hóa nào của RH đối với một số loại chức năngChúng không có ý nghĩa cụ thể cố định, hoặc ít nhất là không có sự nhất quán giữa các bài viết của các tác giả khác nhau (hoặc thậm chí các bài viết khác nhau của cùng một tác giả).$L$

Kết quả được đề cập trong OP dựa trên kết quả của Koiran rằng lý thuyết hiện sinh của (thường có tên khó hiểu là Hil Hilbert's Nullstellensatz tựa) là trong AM, và do đó trong hệ thống phân cấp đa thức. Nó giả định RH cho các chức năng của Dedekind ; cụ thể, nó dựa vào một phiên bản hiệu quả của định lý mật độ Chebotarev.$\mathbb C$$\zeta$

Một lớp ứng dụng CS khác khai thác thực tế là mọi ký tự Dirichlet bậc hai không cần thiết modulo giả định cho một số , ban đầu là do Ankeny, thường được nêu với một tham chiếu Bach người cải tiến liên tục trong -notation. Nó phụ thuộc vào RH cho các chức năng của các ký tự Dirichlet bậc hai, yếu hơn so với các chức năng của Dedekind . (Kết quả thực sự nắm giữ chung hơn đối với các ký tự Hecke hữu hạn, và nói chung, nó cần RH cho các hàm của các ký tự Hecke đã nói, trên thực tế tương đương với RH cho Dedekindχ ( x ) = - 1 x = O ( ( log m ) 2 ) O L ζ L $m$$\chi(x)=-1$$x=O((\log m)^2)$$O$$L$$\zeta$$L$$\zeta$-chức năng. Tuy nhiên, các ứng dụng CS mà tôi biết là không cần điều này.) Hậu quả là người ta có thể tạo ra một số thuật toán, chẳng hạn như thuật toán kiểm tra nguyên thủy Miller Giả Rabin hoặc thuật toán Shanks Thẻ Tonelli để tính các số nguyên tố modulo vuông.

Theo như tôi biết, RH không hữu ích khi xác định tìm các số nguyên tố trong một khoảng nhất định, như được đề cập trong một nhận xét ở trên. Điều này sẽ xuất phát từ phỏng đoán của Cramér hoặc một ràng buộc tương tự trên các khoảng trống nguyên tố, nhưng RH quá yếu để chứng minh các giới hạn đó (thuật ngữ lỗi trong định lý số nguyên tố ít nhất là theo thứ tự khoảng dù thế nào đi chăng nữa).$\sqrt x$

Giả sử giả thuyết Riemann mở rộng, LM Adman và HW Lenstra đã đưa ra thuật toán thời gian đa thức để tìm một đa thức bất khả quy của một mức độ mong muốn trên một trường hữu hạn: http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATION/19a .pdf