Với những gì c được chia cho c trong AC0?

Giả sử rằng đầu vào của chúng tôi là nhị phân và chúng tôi phải xuất , trong đó là một số nguyên không đổi. Đây chỉ là một sự thay đổi nếu là lũy thừa của hai, nhưng còn các số khác thì sao? Chúng ta có thể làm điều đó với một mạch sâu không đổi cho mọi ? Còn thì sao?$x$$\lfloor x/c \rfloor$$c$$c$$c$$c=3$

ps. Tôi biết rằng tính toán là khó, nhưng điều này dường như không liên quan.$x\bmod c$

Phép cộng và phép trừ các số nhị phân có trong $\mathsf{AC^0}$ .

Đối với bất kỳ số không đổi $c$ , $x \bmod c$ là $\mathsf{AC^0}$ có thể rút ngắn để chia theo $c$ ( $\lfloor x/c \rfloor$ ):

Được biết, $x \bmod c$ khó đối với $\mathsf{AC^0}$ đối với bất kỳ $c$ nào không phải là lũy thừa của $2$ . Do đó, $\lfloor x/c \rfloor$ khó cho $\mathsf{AC^0}$ cho bất kỳ $c$ nào không phải là lũy thừa của $2$ .

Như Emil đã lưu ý trong các nhận xét, có một sự giảm dễ dàng cho số nguyên tố lẻ từ (nghĩa là, với ) thành với đầu vào nhị phân: chúng tôi chỉ sử dụng các bit đầu vào là bội số của và sử dụng FLT ( ). $c$$\mathit{MOD}_c$$\sum_ix_i\bmod c$$x_i\in\{0,1\}$$x\bmod c$$p-1$$2^{(p-1)i} \bmod p = 1$