Có một bộ cổng đơn nhất hữu hạn nào có thể nhận ra chính xác tất cả các QFT của thứ tự

Tôi đang xem xét ý tưởng về các thuật toán lượng tử chính xác. Cụ thể, tôi đang xem xét các hạn chế có khả năng của , bao gồm các ngôn ngữ có thể quyết định chính xác bởi các họ mạch lượng tử đồng nhất đa thời gian trên một bộ cổng hữu hạn tùy ý. $\mathsf{EQP}$

Biến đổi Fourier lượng tử (QFT), được đưa ra bởi là một phần nổi tiếng của lý thuyết tính toán lượng tử. Trong trường hợp , có sự phân rã nổi tiếngthành Hadamards, cổng SWAP và cổng chéo

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] for ω = e^{2 π i / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{C Z}_{2^{T}} = d i a g (1, 1, 1, e^{2 π i / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$

Rõ ràng, theo định lý Solitaay Kitaev, chúng ta có thể tính gần đúng các cổng hoặc tùy ý với bất kỳ bộ cổng phổ quát nào được đóng dưới đảo ngược. Những gì tôi muốn biết là liệu có một bộ cổng hữu hạn nào có thể nhận ra chính xác các họ toán tử này hay không, hoặc điều tôi nghi ngờ là có khả năng hơn, liệu có bằng chứng nào cho thấy không có bộ cổng hữu hạn nào như vậy tồn tại hay không. $F_{2^n}$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$

Câu hỏi. Có sự phân rã của như một họ mạch đồng nhất đa thời gian trên một bộ cổng hữu hạn, hoặc bằng chứng rằng điều này là không thể? $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$

quantum-computing circuit-families

— Niel de Beaudrap
nguồn

Không, không có sự phân rã của toàn bộ gia đình thành một bộ cổng hữu hạn duy nhất. Đây là lý do tại sao. $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

Các QFT chỉ liên quan đến các hệ số trên , việc đóng đại số phức tạp của các số hữu tỷ. Tương tự như [ Adman + Demarrais + Huang, 1997 ], nếu chúng tôi liên quan đến bất kỳ cổng nào bao gồm bất kỳ số siêu việt nào, chúng tôi có thể chọn một bộ siêu việt tối thiểu và mô tả các hệ số cổng về cơ bản là các hàm hợp lý . Để có được QFT như một sản phẩm của các cổng như vậy, chúng ta phải sắp xếp cho tất cả các thành phần siêu việt phải hủy bỏ (một điều tương tự phải xảy ra để đảm bảo mỗi cổng là đơn nhất); nhưng sau đó chúng ta cũng có thể thay thế tất cả các siêu việt bằng $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ , do đó tất cả các hệ số là đại số. Vì vậy, chúng tôi giới hạn bản thân vào các bộ cổng đại số mà không mất tính tổng quát.

Các hệ số của một cổng hữu hạn được đặt trên đều có thể được chứa trong một phần mở rộng mức độ hữu hạn của , mà người ta có thể xây dựng bằng cách mở rộng theo các hệ số đó. Tuy nhiên, các cổng rõ ràng có các hệ số thuộc về các phần mở rộng trường trên của mức độ , tức là mức độ không giới hạn. Do đó, họ QFT của đơn hàng không bị phân hủy thành bất kỳ bộ cổng hữu hạn nào. $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

Như một hệ quả tất yếu, chúng ta không thể hy vọng có bất kỳ thuật toán nào trong dựa trên các QFT trên các vòng có kích thước không giới hạn - lưu ý rằng vấn đề tương tự xảy ra đối với bất kỳ họ mạch nào có thể sử dụng QFT theo thứ tự tùy ý. $\mathsf{EQP}$

— Niel de Beaudrap
nguồn