Bình đẳng của bằng chứng quyết định?

Tôi muốn biết liệu tính quyết định của đẳng thức của hai bằng chứng có thể quyết định của cùng một mệnh đề có thể được chứng minh mà không cần bất kỳ tiên đề bổ sung nào trong Tính toán các công trình quy nạp.

Cụ thể, tôi muốn biết điều này có đúng không mà không có bất kỳ tiên đề bổ sung nào trong Coq.

\forall P : Prop, P \lor \neg P \Rightarrow (\forall p_{1} : P, \forall p_{2} : P, {p_{1} = p_{2}} \lor {p_{1} \neq p_{2}})

$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$

Cảm ơn!

Đã chỉnh sửa để sửa lỗi: Chỉnh sửa 2 để Proprõ ràng hơn

coq constructive-mathematics calculus-of-constructions

— Adam Barak
nguồn

Những gì bạn viết không có ý nghĩa. Nếu

là một đề xuất sau đó

là một bằng chứng, và bạn không thể hình thành

. Ý của bạn là giả thuyết của bạn sẽ được

thay vì

, tức là, "

là decidable"?

P

$P$

p : P

$p : P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P

$P$

— Andrej Bauer

Xin lỗi, tôi có nghĩa là giả thuyết "

là decidable", tức là

P

$P$

P \lor \neg P

$P \vee \neg P$

— Adam Barak

Hãy

là

, và tuyên bố là sai, vì bạn có thể dễ dàng sống

với

P

$P$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

(N \to N) \lor \neg (N \to N)

$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

và tương đương chức năng rõ ràng là không thể giải quyết được. Có bất kỳ điều kiện khác về

bạn có trong tâm trí?

i n l (λ x . x)

$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$

P

$P$

— Neel Krishnaswami

P nên là một mệnh đề. (Trên thực tế, trong quá trình phát triển của tôi, tôi đã sử dụng tính mở rộng chức năng, do đó, câu lệnh vẫn có thể giữ cho tôi, nhưng bây giờ hãy bỏ qua tính mở rộng chức năng / mệnh đề).

— Adam Barak

Tính mở rộng của hàm không ngụ ý rằng tính tương đương của hàm là có thể quyết định ... Và câu trả lời của Neel giải quyết trường hợp chung: nếu P là một loại vô hạn (có người ở) (bao gồm một số loại Đề xuất nếu không bao gồm các tiên đề bổ sung), thì hàm ý không thành công để giữ cho

P \to P

$P\rightarrow P$

— cody

Như Neel chỉ ra nếu bạn làm việc theo "các mệnh đề là các loại" thì bạn có thể dễ dàng đưa ra một loại mà sự bình đẳng không thể được hiển thị có thể quyết định được (nhưng tất nhiên là nhất quán khi cho rằng tất cả các loại đều có đẳng thức có thể quyết định), chẳng hạn như . $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Nếu chúng ta hiểu "mệnh đề" là một loại hạn chế hơn, thì câu trả lời phụ thuộc vào ý nghĩa chính xác của chúng ta. Nếu bạn đang làm việc trong tính toán của các công trình với một Proploại thì bạn vẫn không thể chỉ ra rằng các đề xuất có thể quyết định có sự bình đẳng có thể quyết định. Đây là như vậy bởi vì nó phù hợp trong tính toán của các công trình xây dựng để đánh đồng Propvới một vũ trụ loại bằng chứng có liên quan, như vậy cho tất cả các bạn biết Propsức chứa một cái gì đó giống như . Điều này cũng ngụ ý rằng bạn không thể chứng minh định lý của mình cho khái niệm của Coq . $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ Prop

Nhưng trong mọi trường hợp, câu trả lời tốt nhất đến từ lý thuyết loại đồng luân. Có một mệnh đề là loại thỏa mãn $P$ Đó là, một mệnh đề có nhiều nhất một yếu tố (vì nếu nó được hiểu là một giá trị chân lý không liên quan). Trong trường hợp này, câu trả lời tất nhiên là tích cực vì định nghĩa của mệnh đề ngay lập tức ngụ ý rằng sự bình đẳng của nó là có thể quyết định.

\forall x, y : P . x = y .

$\forall x, y : P \,.\, x = y.$

Tôi tò mò muốn biết ý của bạn là gì bởi "mệnh đề".

— Andrej Bauer
nguồn

Làm thế nào bạn có

bên trong ? Cảm ơn!

N \to N

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ Prop

— Adam Barak

Không có gì trong tính toán xây dựng ngăn cản

, phải không?

P r o p = T y p e

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$

— Andrej Bauer

Sự nhầm lẫn ở đây là về "hệ thống coq" nghĩa là gì. Nếu đó là "phép tính của các công trình", thì

. Nếu "Tính toán các công trình quy nạp với 1 vũ trụ giả định" chính xác hơn thì

là vô nghĩa nếu không có chú thích cấp độ vũ trụ. Theo tôi biết,

là một tiên đề nhất quán (mặc dù không phù hợp với EM vì những lý do tinh tế).

P r o p = S e t = T y p e

$\mathtt{Prop=Set=Type}$

T y p e

$\mathtt{Type}$

T y p e_{1} = P r o p

$\mathtt{Type_1=Prop}$

— cody

Chắc chắn, chúng ta phải giải quyết một chỉ số trên

. Điểm để @AdamBarak hiểu là: bởi vì

không dẫn đến bất kỳ mâu thuẫn nào trong Coq, chúng tôi có thể chỉ ra rằng điều gì đó không thể được thực hiện trong Coq bằng cách cho thấy rằng nó sẽ dẫn đến mâu thuẫn nếu chúng tôi cũng đã có

T y p e

$\mathtt{Type}$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

— Andrej Bauer

Vẫn không hoàn toàn đúng, bởi vì trong Coq chúng ta không thể chỉ ra rằng sự tương đương về chức năng là không thể giải quyết được. Tuyên bố "sự bình đẳng trên

là có thể quyết định" là điều mà Martin Escardo gọi là một điều cấm kỵ mang tính xây dựng: nó có thể không được chứng minh cũng không bị từ chối trong Coq. Vì vậy, đối số đúng là: nếu

thì

là một mệnh đề và tuyên bố "đẳng thức trên

là có thể quyết định" là không thể chứng minh được. (Trong khi bạn nói: và tuyên bố "bình đẳng trên

là có thể quyết định" là sai).

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— Andrej Bauer