Giới hạn dưới về ước tính

Tôi muốn biết (liên quan đến câu hỏi này khác ) nếu giới hạn thấp hơn được biết đến với các vấn đề thử nghiệm sau đây: một là được tiếp cận truy vấn đến một chuỗi các số không âm và ε ∈ ( 0 , 1 ) , với lời hứa rằng một trong hai Σ n k = 1 một k = 1 hoặc Σ n k = 1 một k ≤ 1 - ε .$a_n \geq \dots\geq a_1$$\varepsilon \in (0,1)$$\sum_{k=1}^n a_k = 1$$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

Có bao nhiêu truy vấn (tra cứu) là đủ và cần thiết cho một (adaptive) thuật toán ngẫu nhiên để phân biệt giữa hai trường hợp, với xác suất ít nhất ?$2/3$

Tôi đã tìm thấy một bài viết trước đó đưa ra một logarit (tính bằng ) giới hạn trên cho vấn đề liên quan gần đúng tổng, và một kết hợp gần đúng ràng buộc về vấn đề đó đối với các thuật toán xác định; nhưng không thể tìm thấy kết quả cho vấn đề cụ thể mà tôi đang xem xét (cụ thể là các thuật toán ngẫu nhiên).$n$

---

Chỉnh sửa: Sau khi câu trả lời dưới đây, tôi đoán tôi cần phải có được rõ ràng hơn: ở trên (và đặc biệt là trong asymptotics cho ràng buộc thấp hơn), là "chính" số lượng xem như đi đến vô cùng, trong khi ε là một (tùy tiện nhỏ ) không thay đổi.$n$$\varepsilon$

Dưới đây là giới hạn dưới tôi có thể hiển thị. Tôi phỏng đoán rằng đối với một cố định , phía dưới bên phải bị ràng buộc là Ω ( log n ) , nhưng tự nhiên tôi có thể là sai.$\epsilon$$\Omega( \log n)$

Tôi sẽ sử dụng một chuỗi giảm (chỉ để thuận tiện). Cơ chế cơ bản là phá vỡ chuỗi thành các khối Trong khối thứ i sẽ có n phần tử i (nghĩa là ∑ i n i = n ).$L$$i$$n_i$$\sum_i n_i = n$

Trong phần tiếp theo, chúng tôi muốn các thuật toán để thành công với xác suất , đối với một số thông số δ > 0 .$\geq 1-\delta$$\delta >0$

Đầu tiên thấp hơn bị ràng buộc: .$\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

Khối thứ có n i = 2 i - 1 phần tử, do đó L = lg n . Chúng tôi đặt giá trị của tất cả các phần tử trong khối thứ i là ( 1 + $i$$n_i = 2^{i-1}$$L = \lg n$$i$ , trong đó X i là biến có giá trị 0 hoặc 1 . Rõ ràng, tổng của dãy này là α = L Σ i = 1 1 + $(1+X_i)/(2n_iL)$$X_i$$0$$1$

$$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$$ Hãy tưởng tượng chọn mỗi với xác suất β là 1 và 0 nếu không. Để ước tính α , chúng ta cần một ước tính đáng tin cậy là β . Trong hạt, chúng tôi muốn để có thể phân biệt các cơ sở β = 1 - 4 ε và, nói, β = 1 .$X_i$$\beta$$1$$0$$\alpha$$\beta$$\beta = 1-4\epsilon$$\beta=1$

Bây giờ, hãy tưởng tượng lấy mẫu của các biến ngẫu nhiên, và để cho Z 1 , ... , Z m là biến lấy mẫu. Cài đặt Y = Σ $m$$Z_1, \ldots, Z_m$(lưu ý, rằng chúng tôi đang tổng cácbổ sungcác biến), chúng tôi cóμ=E[Y]=(1-β)m, và bất bình đẳng Chernoff cho chúng ta biết rằng nếuβ=1-$Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$$\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ , sau đó μ = 4 ε m , và xác suất thất bại là P [ Y ≤ 2 ε m ] = P [ Y ≤ ( 1 - 1 / 2 ) μ ] ≤ exp ( - μ ( 1 / 2 ) 2 / 2 ) = exp ( - ε m / 2 ) . Để làm cho số lượng này nhỏ hơn$\beta =1-4\epsilon$$\mu = 4\epsilon m$

$$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$$ , chúng ta cần m ≥ $\delta$ .$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

Quan sát chính là sự bất bình đẳng của Chernoff rất chặt chẽ (người ta phải cẩn thận, vì nó không đúng với tất cả các tham số, nhưng nó đúng trong trường hợp này), vì vậy bạn không thể làm tốt hơn điều đó (theo hằng số).

Thứ hai giảm ràng buộc: .$\Omega( \log n / \log \log n)$

$i$$n_i = L^i$$L = \Theta( \log n / \log \log n)$$i$$\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$$1$

$j$$\alpha_{j-1} = L \alpha_j$$\alpha_j$$j$$1/L$$1$$2$

$L$

$p=1/2$$1$$L/8$$1/8$$L/8$

$$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$$

---

$\Omega(1/\epsilon^2)$

Chặn dưới

$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

$a_1,\dots,a_n$$\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$$n$$a_1+\dots+a_n = 1$$n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

$a'_1,\dots,a'_n$$\epsilon$$a'_1=a_1$$a'_2=a_2$$a'_i = a_i - \epsilon$$a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

$a_1,\dots,a_n$$a'_1,\dots,a'_n$$i$$\Omega(n)$$n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

Giới hạn trên

$O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

$[0,1]$

$$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$$

$a_i$$a_i$$a_i$$[\ell,u]$$i,j$$a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$$O(\lg(n/\epsilon))$

Bây giờ, chúng tôi sẽ ước tính tổng giá trị trong mỗi phạm vi. Phạm vi đầu tiên sẽ được xử lý riêng biệt với tất cả phần còn lại:

• $[0,0.25\epsilon/n)$$0$$m \times 0.25\epsilon/n$$m$$m \le n$$0.25 \epsilon$

• $\delta$$O(1/\delta^2)$$2 \times$$\delta = 0.25 \epsilon$

$0.25 \epsilon$$0.25 \epsilon$$\le 0.5 \epsilon$$1$$1-\epsilon$