Trình tạo giả ngẫu nhiên cho automata hữu hạn

Đặt là hằng số. Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng một trình tạo giả ngẫu nhiên để đánh lừa automata hữu hạn -state?$d$$d$

Ở đây, một automata hữu hạn -state có các nút , nút bắt đầu, một tập hợp các nút đại diện cho các trạng thái chấp nhận và hai cạnh được định hướng có nhãn 0, 1 xuất phát từ mỗi nút. Nó thay đổi trạng thái theo cách tự nhiên khi nó đọc đầu vào. Cho một , tìm sao cho mỗi máy tính tự động hữu hạn -state một số chức năng ,d ϵ f : { 0 , 1 } k → { 0 , 1 } n d $d$$d$$\epsilon$$f:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}^n$$d$$A$

Ở đây biểu thị phân phối đồng đều trên biến và chúng tôi muốn k càng nhỏ càng tốt (ví dụ \ log n ). Tôi đang nghĩ đến việc d phúc vào thứ tự của n , mặc dù chúng tôi cũng có thể đặt câu hỏi tổng quát hơn (ví dụ. Số bit sẽ cần phát triển với n ?). k k log n d n $U_k$$k$$k$$\log n$$d$$n$$n$

Một số nền tảng

Việc xây dựng các trình tạo giả ngẫu nhiên rất quan trọng trong việc tạo ra cộng đồng, nhưng vấn đề chung (PRG dành cho các thuật toán thời gian đa thức) cho đến nay vẫn còn quá khó khăn. Tuy nhiên, đã có tiến bộ trên PRG cho tính toán không gian giới hạn. Ví dụ, bài báo gần đây này ( http://homes.cs.washington.edu/~anuprao/pub/spaceFeb27.pdf ) đưa ra một giới hạn khoảng $\log n\log d$ cho các chương trình phân nhánh đọc một lần thông thường . Câu hỏi với các chương trình phân nhánh đọc một lần vẫn còn mở (với $k=\log n$ ), vì vậy tôi tự hỏi liệu câu trả lời cho đơn giản hóa này có được biết không. (Máy tự động hữu hạn giống như một chương trình phân nhánh đọc một lần trong đó mọi lớp đều giống nhau.)

Nếu là thứ tự của n thì bạn có thể viết chương trình phân nhánh có chiều rộng không đổi dưới dạng tự động trạng thái hữu hạn và chiều dài hạt logarit không được biết.$d$$n$

Nhưng nếu rất nhỏ, hãy nói một hằng số, thì bạn có thể làm tốt hơn và đạt được chiều dài hạt logarit - tôi nghĩ, đây là điều tôi nghĩ về những năm trước nhưng không bao giờ viết ra. Bí quyết là sử dụng kết quả RL ⊆ SC của Nisan . Về cơ bản, ông cho thấy rằng nếu bạn được cung cấp một chương trình phân nhánh thì bạn có thể tìm thấy một phân phối hạt giống logarit đánh lừa nó. Kết quả của ông mở rộng đến một số lượng nhỏ các chương trình phân nhánh. Vì vậy, nếu d là một hằng số thì bạn có thể liệt kê tất cả các automata trạng thái hữu hạn có thể, và tìm một phân phối đánh lừa tất cả chúng. Điều này vẫn sẽ hoạt động miễn là số lượng chương trình là đa thức trong n .$d$$\subseteq$$d$$n$

một cái gì đó gần với những gì bạn đang yêu cầu dường như đã được chứng minh trong Thm 2.10 p6 của những ghi chú bài giảng này của O'Donnell, Bài giảng 16: PRG của Nisan cho không gian nhỏ nhưng nó không trích dẫn tài liệu gốc cho bằng chứng. một tuyên bố đơn giản của định lý về các FSM không được đưa ra trong tài liệu tham khảo này nhưng có thể dịch được. (tình nguyện viên?) trong định lý là ma trận chuyển tiếp xác định một FSM. có những định lý liên quan khác trong các ghi chú.$M^n$

bằng chứng rõ ràng tương tự này cũng được RJlipton trích dẫn trên blog của mình "bảo hành cho máy phát điện Nisans" . bằng chứng rõ ràng bắt nguồn từ bài báo Máy phát ngẫu nhiên giả của Nisan mạnh đến mức nào? David, Papakonstantinou, Sidiropoulos (2010). cũng lưu ý một câu hỏi gần sâu hơn và giới hạn tốt hơn được gắn với một phân tách lớp phức tạp chính:

Họ chỉ ra, mà không cần bất kỳ giấy tờ chứng minh, rằng nếu có một PRG mà không đa thức những đường chuyền và ngốc logspace máy sau đó .$\mathsf{L} \neq \mathsf{NP}$