Sử dụng

Tôi không phải là nhà khoa học máy tính lý thuyết. Tôi là một nhà lý luận ổn định đồng luân sử dụng -categories. Tôi đã thấy các ứng dụng của lý thuyết thể loại và lý thuyết topos cho khoa học máy tính lý thuyết, và tôi tự hỏi liệu có cách nào người ta có thể sử dụng ∞ -c loại (và tốt nhất cho tôi, lý thuyết đồng luân ổn định) trong khoa học máy tính lý thuyết. Tôi nghĩ HoTT mught là một trong những ứng dụng như vậy, nhưng tôi rất có thể sai vì tôi không biết gì về HoTT. (Vì vậy, tôi cũng không biết HoTT được sử dụng như thế nào trong TCS.)$\infty$$\infty$

Áp dụng các ý tưởng lý thuyết đồng luân cao hơn cho CS vẫn còn là một lĩnh vực rất mới! Hiểu biết của tôi là nó thậm chí không cũ như một lĩnh vực toán học.

Chắc chắn HoTT là động lực trung tâm cho những ý tưởng như vậy. Mặc dù vậy, chỉ có vài ứng dụng của lý thuyết thể loại về "chiều" cao hơn 2.

Một "khoa học máy tính" tuyệt vời là Lý thuyết Bản vá Homotopical của Anguili et al . Chúng cho thấy rằng một số hoạt động và tính chất phổ biến vốn có gitnhư hệ thống kiểm soát phiên bản có thể được hiểu rõ nhất bằng cách sử dụng lý thuyết loại đồng luân.

Một lối suy nghĩ khá không liên quan khác là một số công việc thú vị về mối quan hệ giữa (2-) lý thuyết Homology và hợp lưu của các hệ thống viết lại thuật ngữ (hoặc các cấu trúc phức tạp hơn như đại số cao hơn). Một số ví dụ

Y. Guiraud Sự kết hợp của việc viết lại tuyến tính và tương đồng của đại số .

Tài sản của Y. Lafont & A. Proute Church-Rosser và tương đồng của các đơn sắc .

Các nhà khoa học máy tính lý thuyết làm nhiều việc, một trong số đó là mô hình toán học của nhiều thứ khác nhau về máy tính. Chẳng hạn, chúng tôi muốn cung cấp các mô hình toán học của các ngôn ngữ lập trình, để mọi người thực sự có thể chứng minh mọi thứ về các chương trình (chẳng hạn như chứng minh rằng chương trình thực hiện đúng như những gì nó dự định). Theo nghĩa này, thật tốt khi có một nguồn cung cấp tốt các kỹ thuật toán học sẽ cung cấp cho chúng ta các mô hình cho những thứ khác nhau mà các nhà khoa học máy tính nghĩ ra.

$D$$D \cong D^D$

$(\infty,1)$$\infty$

Mối liên hệ duy nhất giữa lý thuyết đồng luân ổn định và lý thuyết loại mà tôi biết là công trình của Matthijs Vákár về lý thuyết loại phụ thuộc tuyến tính . Rõ ràng, một mô hình của nó là lý thuyết đồng luân ổn định, nhưng điều này chưa được công bố, chỉ gợi ý ở phần cuối của bài báo được liên kết.

Một nơi khác mà bạn có thể tìm kiếm các ứng dụng của lý thuyết đồng luân (ổn định hay không) trong khoa học máy tính là cấu trúc liên kết tính toán . Có sự tương đồng liên tục gần đây đã tìm thấy nhiều ứng dụng, và mọi người chắc chắn đang xem xét các ứng dụng lý thuyết đồng luân của một loại tương tự. Ý tưởng cơ bản là sử dụng cấu trúc liên kết đại số để nghiên cứu các thuộc tính của các bộ dữ liệu lớn.

Không nghi ngờ gì nữa, có những ứng dụng khác. Cody đã đề cập đến việc sử dụng lý thuyết đồng luân (trong vỏ bọc của lý thuyết loại đồng luân) để nghiên cứu các hệ thống kiểm soát sửa đổi. Ngoài ra còn có các ứng dụng của lý thuyết đồng luân để nghiên cứu các tính toán song song và cắt ngắn, chẳng hạn như " cấu trúc liên kết đại số và đồng thời ". Ai đó hiểu biết hơn có thể đủ tử tế để cung cấp tài liệu tham khảo tốt hơn. Trong mọi trường hợp, bạn sẽ nhận thấy rằng tất cả các ứng dụng này (ngoại trừ có thể có của lý thuyết loại đồng luân) khá không phức tạp theo quan điểm toán học - điều đó không có nghĩa là chúng vô giá trị!

nỗ lực này để phác thảo ra các kết nối chung hơn. một số chương trình này có thể được coi là một phần mở rộng rất gần đây và công phu hơn của thư từ cũ Curry-Howard được ghi nhận giữa các bằng chứng và chương trình. cũng có một kết nối chặt chẽ với việc chứng minh định lý tự động (còn gọi là trợ lý chứng minh). nhiều kỹ thuật được sử dụng trong các bằng chứng chứng minh định lý tự động không hoàn toàn trên nền tảng toán học và lý thuyết đồng luân bổ sung thêm nền tảng vững chắc hơn.

đề xuất này của một nhóm có thể nắm bắt / khảo sát phần lớn các kết nối hiện được biết đến với CS: Lý thuyết loại Homotopy: Cơ sở thống nhất của Toán học và Tính toán (Đề xuất MURI)

Licata từ nhóm đó đặc biệt quan tâm đến các ứng dụng khoa học máy tính của lý thuyết đồng luân. một số bài nói chuyện của ông và một bài của người sáng lập Voevodsky về tiên đề Univalence nổi bật :

• Các ứng dụng toán học và tính toán của lý thuyết loại Homotopy. Colloquium tại Đại học Iowa. Tháng 11 năm 2013. [ slide ]

• Bằng chứng kiểm tra bằng máy tính trong logic của lý thuyết đồng luân. Nói chuyện được mời tại Hiệp hội Hội nghị Bắc Mỹ Logic tượng trưng. Tháng 5 năm 2013. [ slide ]

• Lập trình và chứng minh trong lý thuyết loại Homotopy. Hội thảo chuyên đề tại Wesleyan, Princeton và Cornell. Mùa xuân năm 2013. [ slide ]

• Khoa học máy tính và lý thuyết đồng luân , bài giảng video 10m của Voevodsky / IAS