Giảm thiểu automata chấp nhận

Cách tiếp cận tiêu chuẩn về giảm thiểu Büchi-Automata (hoặc cả Müller-Automata) là gì? Chuyển giao kỹ thuật thông thường từ các từ hữu hạn, nghĩa là đặt hai trạng thái bằng nhau nếu các từ "hết" các trạng thái được chấp nhận là như nhau, sẽ không hoạt động. Ví dụ, hãy xem xét Büchi-Automoton chấp nhận tất cả các từ có số lượng vô hạn bao gồm hai trạng thái, trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng và trạng thái cuối cùng được nhập mỗi khi đọc a và trạng thái ban đầu được nhập mỗi lần biểu tượng khác nhau được đọc. Cả hai trạng thái được coi là bằng nhau bởi định nghĩa trên, nhưng đánh sập chúng mang lại một automata bao gồm một trạng thái duy nhất, và do đó chấp nhận mọi từ.

fl.formal-languages automata-theory

— Stefan
nguồn

Câu trả lời:

Nói chung, ngôn ngữ -regular có thể không có một DBW tối thiểu độc đáo. Ví dụ: ngôn ngữ "vô hạn nhiều a và vô số b" có hai DBW 3 trạng thái (trong hình thay thế bằng ): $\omega$ $\neg a$ $b$ Hai DBW tối thiểu cho cùng một ngôn ngữ

Như bạn có thể thấy, chúng không tương đương về mặt tôpô.

Do đó, vấn đề tối thiểu hóa khó hơn trường hợp hữu hạn và trên thực tế, nó đã hoàn thành NP .

— Thiếu
nguồn

Tôi tìm thấy ba Büchi-Automata xác định 3 trạng thái, hai cái có cấu trúc rất giống nhau (chúng chỉ khác nhau bởi các nhãn trên quá trình chuyển đổi của chúng), nhưng dù sao bạn cũng sẽ đưa ra máy của mình, chỉ để so sánh :) Cảm ơn vì bài viết!

— StefanH

@Stefan - thêm ví dụ.

— Shaull

Cái còn lại tôi cũng có, nhưng tôi cũng có một cái khác, tôi đã đăng nó dưới dạng chỉnh sửa trong câu hỏi của tôi.

— StefanH

Các automaton bạn thêm là không chính xác - nó không chấp nhận lời

(b a b)^{ω} = b a b b a b b a b b a b . . .

$(bab)^\omega=babbabbabbab...$

— Shaull

DBWs xem xét, tôi đã tự hỏi nếu vấn đề vẫn còn khó khăn nếu chúng ta xem xét một

bảng chữ cái, chúng ta hãy nói nhị phân. Bạn nghĩ sao? Và liên quan đến các trạng thái tương đương, bằng cách nào đó chúng ta không thể ràng buộc số lượng trạng thái tương đương mà chúng ta cần?! Ví dụ, tôi tin rằng người ta có thể ràng buộc số lượng trạng thái chỉ bằng một mũi tên đi ra (được gắn nhãn "true").

c o n s t a n t

$constant$

— Bader Abu Radi

Câu hỏi này tạo ra rất nhiều tài liệu trong thập niên 80, một phần do cách tiếp cận vấn đề không tốt. Đây là một câu chuyện khá dài mà tôi sẽ cố gắng tóm tắt trong câu trả lời này.

1. Trường hợp từ hữu hạn

Người ta có thể tìm thấy hai định nghĩa về một DFA tối thiểu trong tài liệu. Đầu tiên là xác định DFA tối thiểu của ngôn ngữ thông thường là DFA hoàn chỉnh với số lượng trạng thái tối thiểu chấp nhận ngôn ngữ. Cái thứ hai dài hơn để định nghĩa nhưng về mặt toán học hấp dẫn hơn cái thứ nhất và nó mang lại các đặc tính mạnh hơn.

$(Q, A, \cdot, i, F)$ $q \in Q$ $u \in A^*$ $i \cdot u = q$ $q \cdot a$ $q \in Q$ $a \in A$

${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$ ${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$ $\mathcal{A}_1$ $\mathcal{A}_2$ $\varphi:Q_1 \to Q_2$

$\varphi(i_1) = i_2$
$\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
$q \in Q_1$ $a \in A$ $\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

$\varphi$ $|Q_2| \leqslant |Q_1|$ ${\cal A}_1$ ${\cal A}_2$ ${\cal A}_1$ ${\cal A}_2$ $L$ ${\cal A}_L$ $L$ $\cal A$ $L$ $\cal A$ ${\cal A}_L$ . Automaton này được gọi là DFA tối thiểu của . Xin lưu ý rằng vì số lượng trạng thái trong nhỏ hơn số lượng trạng thái trong , cũng là tối thiểu theo nghĩa đầu tiên. $L$ ${\cal A}_L$ $\cal A$ ${\cal A}_L$

Điều đáng nói là cũng có một định nghĩa đại số phù hợp cho các DFA không hoàn chỉnh . Xem [Eilenberg, Automata, Ngôn ngữ và Máy móc , tập. A, Nhà xuất bản Học thuật, 1974] để biết thêm chi tiết.

2. Quay lại từ vô hạn

Mở rộng định nghĩa đầu tiên không hoạt động, như Shaull thể hiện trong câu trả lời của mình. Và thật không may, người ta cũng có thể chỉ ra rằng thuộc tính phổ quát của định nghĩa thứ hai không mở rộng thành các từ vô hạn, ngoại trừ trong một vài trường hợp cụ thể.

Có phải là kết thúc của câu chuyện? Đợi một chút, có một đối tượng tối thiểu khác chấp nhận ngôn ngữ thông thường ...

3. Cách tiếp cận cú pháp

Trước tiên chúng ta hãy trở lại với những từ hữu hạn. Nhớ lại rằng một ngôn ngữ của được công nhận bởi một monoid nếu có một surjective monoid cấu xạ và một tập hợp con của mà . Một lần nữa, tồn tại một monoid , được gọi là monoid cú pháp của , công nhận và là một thương của tất cả monoids nhận . Monoid cú pháp này có thể được định nghĩa trực tiếp là thương số của bởi sự phù hợp cú pháp của $L$ $A^*$ $M$ $f:A^* \to M$ $P$ $M$ $f^{-1}(P) = L$ $M(L)$ $L$ $L$ $L$ $A^*$ $\sim_L$ $L$ , được định nghĩa như sau: Tin vui là lần này, cách tiếp cận này đã được mở rộng thành các từ vô hạn, nhưng phải mất một thời gian dài để khám phá các khái niệm thích hợp. Đầu tiên, khái niệm phù hợp về sự phù hợp cú pháp đã được tìm thấy bởi A. Arnold (Một sự phù hợp cú pháp cho hợp lý -l ngôn ngữ, Theoret. Comput. Sci. 39 , 2-3 (1985), 333 Nott335). Việc mở rộng các đơn thức cú pháp thành cài đặt các từ vô hạn đòi hỏi một loại đại số phức tạp hơn, ngày nay gọi là đại số Wilke để vinh danh T. Wilke, người đầu tiên định nghĩa chúng (T. Wilke, Một lý thuyết đại số cho các ngôn ngữ thông thường là hữu hạn và vô hạn từ ngữ,

u \sim_{L} v if and only if, for all x, y \in A^{*}, x u y \in L ⟺ x v y \in L

$\text{$u \sim_L v$ if and only if, for all $x, y \in A^*$, $xuy \in L \iff xvy \in L$}$

ω

$\omega$ Nội bộ J. Alg. Tính toán. 3 (1993), 447 Thông tin chi tiết có thể được tìm thấy trong cuốn sách của tôi Từ vô hạn đồng tác giả với D. Perrin.

4. Kết luận

Như vậy có một khái niệm toán học âm thanh của một đối tượng tối thiểu chấp nhận một định thường xuyên -language, nhưng nó không dựa trên automata. Đây thực sự là một thực tế khá chung chung: automata là một công cụ thuật toán rất mạnh, nhưng chúng không phải lúc nào cũng đủ để xử lý các câu hỏi toán học trên các ngôn ngữ. $\omega$

— J.-E. Ghim
nguồn