Các vấn đề trong

Vấn đề gì được biết là thuộc về nhưng không được biết là thuộc về P ?$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

Chính xác hơn, tôi quan tâm đến các vấn đề độc lập , đó là vấn đề mà các cộng đồng của họ không được biết là tương đương. Ví dụ, người ta biết rằng PIT hóa phân nhóm và nhân tố đa thức đa biến là tương đương và tôi sẽ chỉ coi chúng là một vấn đề.

Động lực của câu hỏi của tôi là người ta thường nói rằng "có một vài vấn đề trong không được biết là ở P "$\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$ , nhưng tôi không thể tìm thấy danh sách về chúng. Đặc biệt, nếu tôi phải trích dẫn các vấn đề trong danh mục này, tôi thường trích dẫn hệ số của đa thức đơn biến trên các trường hữu hạn hoặc hệ số của đa thức đa biến. Tôi cho rằng tồn tại các ví dụ không liên quan đến yếu tố đa thức, ví dụ trong các lĩnh vực khác như lý thuyết đồ thị hoặc lý thuyết ngôn ngữ chính thức.

Tái bút: Tôi thấy tò mò rằng một câu hỏi tương tự chưa tồn tại trên trang web này. Tôi xin lỗi nếu tôi không tìm thấy nó (hoặc họ)!

Nếu bạn đang yêu cầu các vấn đề độc lập, hãy làm thế nào:

Tìm một số nguyên tố trong khoảng , Tìm hai số nguyên tố có sản phẩm nằm trong khoảng [ N , 9 N / 8 ] , Tìm ba số nguyên tố có sản phẩm nằm trong khoảng [ N , 17 N / 16 ] , Tìm bốn số nguyên tố có sản phẩm nằm trong khoảng [ N , 33 N / 32 ] , Tìm năm số nguyên tố có sản phẩm nằm trong khoảng [ N $[N, 5N/4]$
$[N, 9N/8]$
$[N, 17N/16]$
$[N, 33N/32]$
, ... .$[N, 65N/64]$
$\ldots$

Rất có khả năng là nếu bạn thực sự có một thuật toán đa thức để giải quyết đầu tiên, bạn sẽ có một thuật toán đa thức cho tất cả chúng. Nhưng tôi không thấy làm thế nào để chính thức giảm bất kỳ thứ nào trong số này cho bất kỳ cái nào khác. Tất nhiên, vấn đề

Tìm một số nguyên tố trong khoảng $[N, N+\log^{17} N ]$

giải quyết tất cả những điều này

$(2^\ell)$

Điều đó nói rằng, tôi chỉ có thể nghĩ về hai trường hợp sử dụng này sẽ dẫn đến sự khác biệt giữa BPP và P.

Đầu tiên là thuật toán gần đây cho hai đường dẫn ngắn nhất ( PDF của tác giả ), Bjorklund và Husfeldt, ICALP 2014.

$|K|=O(\log n)$$|K|$

Tôi không phải là một chuyên gia, nhưng có lẽ một số (không quá tự nhiên?) Ví dụ có thể được bắt nguồn trực tiếp bằng cách sử dụng kỹ thuật giảm deterministically vấn đề tìm kiếm BPP đến vấn đề quyết định BPP , trình bày trong:

Oded Goldreich, Trong một thế giới của P = BPP. Các nghiên cứu về độ phức tạp và mật mã 2011: 191-232

$(R_{yes},R_{no})$$R$$R_{yes} \subseteq R \subseteq (\{0, 1\}^∗ \times \{0, 1\}^∗) \setminus R_{no}$$R$$\Pi$$(R_{yes},R_{no})$$\Pi$$(R_{yes},R_{no})$

Định lý có thể được mở rộng cho các vấn đề xây dựng chung, ví dụ (xem Hệ quả 3.9 ) xem xét vấn đề tìm số nguyên tố trong một khoảng đủ lớn:

$c > 7/12$$N$$[N, N + N^c]$

Thuật toán ngẫu nhiên chạy trong thời gian đa thức dự kiến; không có thuật toán thời gian đa thức xác định được biết đến; nhưng nếu phải tồn tại thuật toán thời gian đa thức xác định như vậy (vì nó có thể được giảm xuống thành vấn đề quyết định của BPP).