Phỏng đoán của Hartmanis-Stearns và các số siêu việt có thể tính toán được

Trong bài viết năm 1969 " Về độ phức tạp tính toán của các thuật toán " của Hartmanis và Stearns, các tác giả phỏng đoán rằng nếu một Turing Machine thời gian thực tính toán số thực , ví dụ, cơ sở 10, thì r là số hữu tỷ hoặc a số siêu việt.$r$$r$

Có một số siêu việt có thể tính toán mà máy tính Turing thời gian thực không thể tính toán được, ví dụ, cơ sở 10 không?

Hãy là một ngôn ngữ EXPTIME động hoàn tất, và để cho r ∈ ( 0 , 1 ) là thực tương ứng. Rõ ràng r là tính toán. Số r không thể là đại số vì bit thứ n của số đại số có thể được tính trong thời gian n O ( 1 ) ( Datta và Pratap ). Do bit thứ n của bất kỳ số nào được tính toán bằng máy Turing thời gian thực có thể được tính theo thời gian O ( n ) , r không thể được tính bằng máy Turing thời gian thực.$L$$r \in (0,1)$$r$$r$$n$$n^{O(1)}$$n$$O(n)$$r$