Sự phức tạp của n-nữ hoàng

27

Các bài toán -queens cổ điển hỏi, cho một số nguyên dương , liệu có một mảng các số nguyên thỏa mãn các điều kiện sau: $n$ $n$ $Q[1..n]$

cho tất cả $1\le Q[i] \le n$ $i$
cho tất cả $Q[i] \ne Q[j]$ $i\ne j$
cho tất cả $Q[i]-i \ne Q[j]-j$ $i\ne j$
cho tất cả $Q[i]+i \ne Q[j]+j$ $i\ne j$

Mỗi số nguyên đại diện cho vị trí của một nữ hoàng trên thứ hàng của một bàn cờ; các ràng buộc mã hóa yêu cầu không có nữ hoàng nào tấn công bất kỳ nữ hoàng nào khác. Thật dễ dàng để chứng minh rằng không có giải pháp nào khi hoặc và các giải pháp dạng đóng được biết đến với tất cả các giá trị khác của . Do đó, như một vấn đề quyết định , vấn đề -queens là hoàn toàn không đáng kể. $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

Thuật toán quay lui tiêu chuẩn để xây dựng một giải pháp -queens đặc biệt đặt các kiến trúc trên một tiền tố của các hàng và sau đó xác định đệ quy xem có vị trí hợp pháp của các kiến trúc trên các hàng còn lại hay không. Các tiểu dự án đệ quy có thể được chính thức hóa như sau: $n$

Cho một số nguyên và một mảng số nguyên, là tiền tố của một mảng mô tả một giải pháp cho vấn đề -queens không? $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

Đây có phải là vấn đề quyết định chung hơn NP-hard?

Một số câu hỏi gần đó được gọi là NP-hard, bao gồm hoàn thành hình vuông Latin [ Colbourn 1984 ], hoàn thành Sudoku [ Yato và Seta 2002 ], và một khái quát khác về -queens [ Martin 2007 ], nhưng câu hỏi cụ thể này dường như đã thoát ra bất kỳ sự quan tâm nghiêm túc. $n$

Câu hỏi cstheory.se liên quan:

cc.complexity-theory board-games

— Jeffε
nguồn

2

Tôi đang tự hỏi liệu các bằng chứng hoàn chỉnh NP hiện tại của Sudoku, hoàn thành hình vuông Latin, (và hàng tấn các vấn đề tương tự khác) ... thực sự liên quan đến các đại diện ngắn gọn / thưa thớt của các trường hợp (ví dụ như trong chứng minh NPC Hoàn thành Quảng trường Latin, Colbourn nói "Tư cách thành viên trong NP là ngay lập tức" nhưng anh ấy không đề cập đến bất kỳ vấn đề mã hóa cá thể nào).

— Marzio De Biasi

1

@Marzio: những bằng chứng này phụ thuộc rất nhiều vào đại diện và (mặc dù điều này thường không được đề cập), việc lập thành viên trong NP thường không tầm thường, ví dụ, xem cstheory.stackexchange.com/a/5559/109

— András Salamon

16

Mất nhiều năm nhưng bài viết này đã truyền cảm hứng cho chúng tôi viết một bài báo xuất hiện ngày hôm nay.

Câu trả lời là n Hoàn thành là NP-Complete. Tuy nhiên để tiết lộ đầy đủ nên đề cập đến chúng tôi giải quyết một biến thể nhỏ của vấn đề. Trong trường hợp của chúng tôi, tập hợp các nữ hoàng không phải là tiền tố của tập hợp đầy đủ. Vì vậy, về mặt kỹ thuật, chúng tôi chưa giải quyết được vấn đề chính xác được hỏi ở đây. Tuy nhiên, sẽ vô cùng ngạc nhiên nếu phiên bản n Hoàn thành từ truy vấn này không phải là NP-Complete.

Tôi muốn nhắc lại lời cảm ơn mà chúng tôi đã viết trong bài báo cho Jeffε vì đã nêu câu hỏi này ở đây.

Sự phức tạp của n Tạp chí Hoàn thành Nữ hoàng của Nghiên cứu AI Gent, Jefferson, Nightingale doi: 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/ con / apers5512.html

— Ian Gent
nguồn

Tốt đẹp. Xin chúc mừng!

— Jeffε

Tôi có một câu hỏi ngây thơ: dường như với tôi rằng nếu có một tiền tố (đúng) có độ dài

, thì việc chuyển sang một bộ

có thể được thực hiện bằng cách kiểm tra đường chéo của tiền tố và do đó, trong thời gian tuyến tính . Là như vậy, hoặc tôi đang thiếu một cái gì đó? (Tôi khẳng định rằng vấn đề ban đầu trong bài viết không bao hàm tiền tố chính xác )

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Serg Rogovtsev

6

(Điều này chỉ ra một số kết quả liên quan. Ban đầu tôi nghĩ rằng các kết quả liên quan rất liên quan, nhưng tôi không thể lấp đầy khoảng trống một cách nhanh chóng, vì vậy có lẽ chúng không liên quan đến nhau như vậy. Có lẽ vẫn hữu ích.)

Bài tập 118 trong (bản nháp) phần 7.2.2.2 của Nghệ thuật lập trình máy tính xem xét một vấn đề rất giống nhau. Trong giải pháp, Knuth ghi nhận một bài báo mà lần lượt tín dụng

Gardnera, Gritzmannb, Prangenbergc, Về sự phức tạp tính toán của việc tái tạo các bộ mạng tinh thể từ tia X của họ , 1999

$[2]=\{0,1\}$

$r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

$x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ and $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

It's not clear to me how to reduce this to your problem. One observation that might help is that the output of your problem also depends only on the sums, not on the exact positioning of the queens. (See Theorem 2.4 in [Rivin, A Dynamic Programming Solution to the n-Queens Problem, 1992], although perhaps this is easy to see.)

Knuth proves that BINARY DIGITAL TOMOGRAPHY is NP-complete by a reduction from the BINARY CONTINGENCY PROBLEM. This is a very similar problem, except in 3 dimensions, and without diagonals.

INPUT: ${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

OUTPUT: whether there exists $x\in[2]^{n\times n\times n}$ such that $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ and $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ and $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

The article by Gardnera et al. seems to reduce from more standard NP-complete problems. I don't understand well enough either reduction to explain it here, so I'll just leave the pointers from above for you to explore if you wish.

This could all be useless, unless somebody figures out how to reduce BINARY DIGITAL TOMOGRAPHY to the question being asked.

— Radu GRIGore
nguồn

Sự phức tạp của n-nữ hoàng - hoàn thành?