Có bất kỳ kết quả trái ngược trong khoa học máy tính lý thuyết?

Một số nghịch lý toán học và logic có thể được tự động áp dụng cho máy tính, nhưng có nghịch lý nào được phát hiện trong chính khoa học máy tính không?

Theo nghịch lý, ý tôi là phản ứng kết quả trực quan trông giống như một mâu thuẫn.

Tôi thấy thực tế là lưu lượng mạng là bộ đếm thời gian đa thức trực quan. Cái nhìn đầu tiên có vẻ khó hơn nhiều so với nhiều vấn đề NP-Hard. Hoặc đặt nó khác đi, có nhiều kết quả trong CS trong đó thời gian chạy để giải quyết chúng là cách tốt hơn so với những gì bạn mong đợi.

$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$N E X P Một C $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P}/poly$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{ACC}$

SAT chỉ có thuật toán đa thức thời gian nếu P = NP. Chúng tôi không biết liệu P = NP. Tuy nhiên, tôi có thể viết ra một thuật toán cho SAT là thời gian đa thức nếu P = NP là đúng. Tôi không biết tài liệu tham khảo chính xác cho điều này, nhưng trang wikipedia đưa ra thuật toán và tín dụng như vậy Levin.

Khả năng tính toán chắc chắn vít hầu hết các sinh viên. Một ví dụ đẹp với tỷ lệ nhầm lẫn cao là đây:

$f(n) := \begin{cases}1, \quad \pi \text{ has } 0^n \text{ in its decimals} \\\\ 0, \quad else\end{cases}$

$f$

$f$

Một kết quả trực quan đáng ngạc nhiên và phản tác dụng là , đã được chứng minh bằng cách sử dụng tính toán số hóa vào khoảng năm 1990.$IP = PSPACE$

Như Arora & Barak đã nói (trang 157) "Chúng tôi biết rằng sự tương tác một mình không mang lại cho chúng tôi bất kỳ ngôn ngữ nào ngoài NP. Chúng tôi cũng nghi ngờ rằng việc ngẫu nhiên hóa một mình không tạo ra sức mạnh đáng kể cho sự tính toán. tương tác cung cấp? "

Rõ ràng là khá một chút!

Như Philip đã nói, định lý của Rice là một ví dụ điển hình: trực giác của một người trước khi nghiên cứu tính toán là chắc chắn phải có thứ gì đó chúng ta có thể tính toán về tính toán. Nó chỉ ra rằng chúng ta chỉ có thể tính toán một cái gì đó về một số tính toán.

Làm thế nào về các ấn phẩm của Martin Escardo cho thấy rằng có những bộ vô hạn có thể được tìm kiếm toàn diện trong thời gian hữu hạn? Ví dụ, xem bài đăng trên blog của Escardo trên blog của Andrej Bauer về "Các chương trình chức năng dường như không thể" .

Định lý đệ quy chắc chắn có vẻ phản trực giác ngay lần đầu tiên bạn nhìn thấy nó. Về cơ bản nó nói rằng khi bạn mô tả một máy Turing, bạn có thể cho rằng nó có quyền truy cập vào mô tả của chính nó. Nói cách khác, tôi có thể xây dựng Turing Machines như:

TM M chấp nhận n iff n là bội số của số lần "1" xuất hiện trong biểu diễn chuỗi của M.

TM N lấy một số n và xuất ra n bản sao của chính nó.

Lưu ý rằng "biểu diễn chuỗi" ở đây không đề cập đến mô tả văn bản không chính thức, mà là mã hóa.

Chứng minh kết quả lý thuyết thông tin dựa trên các giả định lý thuyết phức tạp là một kết quả phản trực giác khác. Ví dụ, Bellare et al. trong bài báo của họ Sự phức tạp (đúng) của Kiến thức không thống kê đã chứng minh một cách xây dựng rằng, theo giả định nhật ký rời rạc được chứng nhận , bất kỳ ngôn ngữ nào chấp nhận kiến thức không có thống kê xác minh trung thực cũng thừa nhận kiến ​​thức không thống kê.

Kết quả thật kỳ quặc đến nỗi làm các tác giả ngạc nhiên. Họ đã chỉ ra thực tế này nhiều lần; ví dụ, trong phần giới thiệu:

Cho rằng kiến ​​thức không thống kê là một khái niệm độc lập về mặt tính toán, có một điều kỳ lạ là các tính chất về nó có thể được chứng minh theo một giả định về tính hấp dẫn tính toán.

Tái bút: Một kết quả mạnh mẽ hơn sau đó đã được Okamoto chứng minh vô điều kiện ( Về mối quan hệ giữa các bằng chứng không có kiến ​​thức thống kê ).

Mô tả một số thuật ngữ

Vì kết quả trên bao gồm rất nhiều thuật ngữ mã hóa, tôi cố gắng xác định không chính thức từng thuật ngữ.

1. $p$$p-1$
2. Không có kiến ​​thức : Một giao thức không mang lại kiến ​​thức cho các bên bị ràng buộc theo thời gian đa thức.
3. Kiến thức không thống kê: Một giao thức không mang lại thông tin, ngay cả cho các bên không tính toán, ngoại trừ xác suất không đáng kể.
4. Kiến thức không xác minh trung thực: Một giao thức không mang lại kiến ​​thức cho các bên bị ràng buộc theo thời gian đa thức, nếu chúng hoạt động như được chỉ định bởi giao thức.

Làm thế nào về thực tế là tính toán vĩnh viễn là # P-Complete nhưng là yếu tố quyết định tính toán - một cách hoạt động của weirder xảy ra trong lớp NC?

Điều này có vẻ khá lạ - không nhất thiết phải như vậy (hoặc có thể nó đã xảy ra ;-))

Bài toán lập trình tuyến tính có thể giải được trong thời gian đa thức (yếu). Điều này có vẻ rất đáng ngạc nhiên: tại sao chúng ta có thể tìm thấy một trong số các đỉnh theo cấp số nhân của một đa giác chiều cao? Tại sao chúng ta có thể giải quyết một vấn đề rất biểu cảm?

Không đề cập đến tất cả các chương trình tuyến tính kích thước theo cấp số nhân mà chúng ta có thể giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp ellipsoid và các phép lạ phân tách và các phương thức khác (thêm biến, v.v.). Ví dụ, thật đáng kinh ngạc khi một LP có số lượng biến số theo cấp số nhân như độ giãn Karmakar-Karp của Bin Đóng gói có thể được xấp xỉ một cách hiệu quả.

Bất cứ khi nào tôi dạy automata, tôi luôn hỏi các sinh viên của mình rằng họ có ngạc nhiên không khi thuyết không thuyết phục không thêm bất kỳ sức mạnh nào vào automata trạng thái hữu hạn (nghĩa là, đối với mỗi NFA đều có một DFA tương đương - có thể lớn hơn nhiều - có thể lớn hơn nhiều). Khoảng một nửa các báo cáo lớp đang ngạc nhiên, vì vậy bạn đi. [Bản thân tôi đã mất "cảm giác" cho những gì đáng ngạc nhiên ở cấp độ giới thiệu.]

$R\neq RE$

Tôi đã tìm thấy một hệ thống mật mã khóa công khai đơn giản với cơ chế giải mã bẫy kép và các ứng dụng của nó là nghịch lý, bởi vì nó là một lược đồ bảo mật mật mã được chọn thích ứng, có cấu trúc tương đồng.