Thuật toán giao cắt DFA cho các trường hợp đặc biệt

Tôi quan tâm đến các thuật toán hiệu quả cho giao lộ DFA cho các trường hợp đặc biệt. Cụ thể, khi các DFA giao nhau tuân theo một cấu trúc nhất định và / hoặc hoạt động trên bảng chữ cái giới hạn. Có nguồn nào mà tôi có thể tìm thấy các thuật toán như vậy không?

Để không làm cho câu hỏi quá rộng, cấu trúc sau đây được đặc biệt quan tâm: tất cả các DFA để giao nhau hoạt động trong bảng chữ cái nhị phân (0 | 1), chúng cũng có thể sử dụng các ký hiệu không quan tâm. Hơn nữa, tất cả các trạng thái chỉ có một chuyển đổi ngoại trừ tối đa K trạng thái đặc biệt, chỉ có hai chuyển đổi (và các chuyển đổi này luôn là 0 hoặc 1, nhưng không quan tâm). K là một số nguyên, nhỏ hơn 10 cho mục đích thực tế. Ngoài ra, họ có một trạng thái chấp nhận duy nhất. Ngoài ra, người ta biết rằng giao lộ LUÔN LUÔN là một DFA ở dạng "dải", tức là không có nhánh như trong hình ảnh sau:

EDIT: Có lẽ mô tả về các ràng buộc đối với các DFA đầu vào không rõ ràng lắm. Tôi sẽ cố gắng cải thiện nó trong đoạn này. Bạn có T DFA đầu vào . Mỗi DFA này chỉ hoạt động trên bảng chữ cái nhị phân. Mỗi trong số họ có ít nhất N tiểu bang. Đối với mỗi DFA, mỗi trạng thái của nó là một trong những điều sau đây:

1) trạng thái chấp nhận (nó chỉ là một và không có sự chuyển đổi từ trạng thái này sang bất kỳ trạng thái nào khác)

2) trạng thái có hai lần chuyển tiếp (0 và 1) sang cùng trạng thái đích (phần lớn các trạng thái thuộc loại này)

3) một trạng thái có hai lần chuyển tiếp (0 và 1) sang các trạng thái mục tiêu khác nhau (nhiều nhất là K thuộc loại này)

Nó được đảm bảo rằng chỉ có một trạng thái chấp nhận và có tối đa K trạng thái loại (3) trong mỗi DFA đầu vào. Nó cũng được đảm bảo rằng giao DFA của tất cả các DFAs đầu vào là một "dải" (như mô tả ở trên), có kích thước nhỏ hơn N .

EDIT2: Một số ràng buộc bổ sung, theo yêu cầu của DW trong các bình luận:

• Các DFA đầu vào là DAG.
• Các DFA đầu vào được "cân bằng", theo định nghĩa DW trong các bình luận. Cụ thể, bạn có thể gán các số nguyên khác nhau cho mọi trạng thái theo cách mà mọi chuyển đổi đều đi từ một số nguyên u sang một số nguyên v , sao cho u + 1 = v .
• Số lượng các quốc gia chấp nhận cho mỗi đầu vào DFA, không vượt quá K .

Có ý kiến ​​gì không? Cảm ơn.

Vâng , có một số trường hợp của vấn đề bảo mật không trống rỗng DFA nằm trong P. Luận án thạc sĩ của tôi dành cho câu hỏi này, nhưng không may là nó bằng tiếng Pháp. Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đã xuất hiện ở đây trong .$[2]$

Khi bảng chữ cái là đơn nhất, thì vấn đề là L-đầy đủ khi mỗi DFA có nhiều nhất hai trạng thái cuối cùng và NP-hoàn thành khác. Hầu hết các trường hợp khác là hạn chế đối với các đơn âm chuyển tiếp của automata. Ví dụ: đối với các đơn vị chuyển tiếp nhóm abelian, vấn đề nằm ở khi mỗi DFA có nhiều nhất một trạng thái cuối cùng và NP hoàn thành khác; đối với các đơn vị chuyển tiếp 2 nhóm cơ bản, vấn đề là L- khi mỗi DFA có nhiều nhất hai trạng thái cuối cùng và NP hoàn thành khác.$\text{NC}^3$$\oplus$

Bây giờ hãy để tôi giải quyết câu hỏi chính xác hơn của bạn, câu hỏi chỉ có thể tìm thấy trong . Giả sử bạn được cung cấp các DFA hoạt động trên và có hình dạng như cây, tức là tồn tại trạng thái (trạng thái ban đầu) sao cho mỗi trạng thái tồn tại một đường dẫn duy nhất từ đến . Sau đó, quyết định giao điểm không trống rỗng là:$[1]$$\{0,1\}$$u$$v$$u$$v$

1. Hoàn thành L cho một trạng thái cuối cùng trong mỗi DFA,
2. Hoàn thành NL cho hai trạng thái cuối cùng trong mỗi DFA và
3. NP-hoàn thành cho ba hoặc nhiều trạng thái cuối cùng trong mỗi DFA.

Kết quả độ cứng vẫn giữ ngay cả khi bạn "rẽ nhánh" tương ứng 0, 1 hoặc 2 lần (đây là của bạn ). Bây giờ nếu các DFA của bạn được vẽ đồ thị theo chu kỳ thay vì cây, thì vấn đề là NP hoàn thành ngay cả với một trạng thái cuối cùng trong mỗi DFA và ; việc giảm là khá đơn giản và là từ Monotone 1 trong 3 3-SAT.$K$$K=2$

Do đó, không , tôi không nghĩ có một thuật toán hiệu quả cho vấn đề của bạn.

Bây giờ, nếu số lượng automata là cố định, bạn có thể muốn thảo luận với Michael Wehar , người đã xuất bản gần đây .$[3]$

EDIT: Kể từ khi OP chỉnh sửa câu hỏi của anh ấy, hãy để tôi làm rõ câu trả lời của mình với yêu cầu mới của anh ấy. Hãy xem xét bài toán hoàn thành NP Đơn điệu 1 trong 3 3-SAT trong đó bạn được cung cấp công thức trong 3-CNF mà không cần phủ định và bạn phải xác định liệu có một phép gán nào thực hiện đúng một biến trong mỗi mệnh đề hay không. Bạn có thể giảm vấn đề này thành vấn đề giao nhau không trống rỗng như sau. Ví dụ: đối với mệnh đề , bạn xây dựng máy tự động sau:$x_2 \lor x_3 \lor x_5$

$\hskip2in$

Lưu ý rằng automata là cây (và do đó DAG), được san bằng và có ba trạng thái cuối cùng. Trên thực tế, ba trạng thái cuối cùng có thể được hợp nhất thành một trạng thái duy nhất, nếu một trạng thái hài lòng với DAG. Hơn nữa, chỉ có hai trạng thái có hai chuyển tiếp (khác biệt) đi.

1. Michael Blondin. Complexité raffinée duTHERème d'intersection d'automates, ThS. Luận án, Đại học Montréal, 2012.
2. Michael Blondin, Andreas Krebs và Pierre McKenzie. Sự phức tạp của giao tiếp tự động hữu hạn có ít trạng thái cuối cùng, độ phức tạp tính toán (CC), 2014.
3. Michael Wehar. Kết quả độ cứng cho giao lộ Không trống rỗng. ICALP, 2014.