Tại sao cổng mod_m thú vị?

Ryan Williams vừa đăng giới hạn dưới của mình lên ACC , loại vấn đề có mạch độ sâu không đổi với các cổng và cổng không giới hạn VÀ, HOẶC, KHÔNG và MOD_m cho tất cả các m có thể.

Có gì đặc biệt về cổng MOD_m?

• Chúng cho phép một người mô phỏng số học trên bất kỳ vòng Z_m nào.
• Trước kết quả của Ryan, việc ném các cổng MOD_m vào hỗn hợp đã tạo ra lớp đầu tiên mà giới hạn dưới đã biết không hoạt động.

Có bất kỳ lý do tự nhiên khác để nghiên cứu cổng MOD_m?

$ACC^0$ là một lớp phức tạp tự nhiên.

1) Barrington đã chỉ ra rằng tính toán trên các đơn sắc không thể hòa tan bắt được $NC^1$ trong khi trên các đơn sắc có thể hòa tan bắt được $ACC^0$ .

2) Gần đây, Hansen và Koucky đã chứng minh một kết quả tuyệt vời rằng các chương trình phân nhánh phẳng có chiều rộng không đổi đa kích thước chính xác là $ACC^0$ . Nếu không có điều kiện phẳng, tất nhiên chúng ta sẽ nhận được kết quả của Barrington đặc trưng cho $NC^1$ .

Vì vậy, sự khác biệt giữa $ACC^0$ và $NC^1$ là lý thuyết nhóm trên một mặt và mặt khác.

Đã thêm: Dana, một ví dụ đơn giản về nhóm có thể giải được là , nhóm đối xứng trên các phần tử. Không đi sâu vào chi tiết, bất kỳ nhóm nào có thể giải được đều có một chuỗi có chỉ tiêu xảy ra theo chu kỳ. Cấu trúc tuần hoàn này được phản ánh như các cổng mod trong khi xây dựng một mạch để giải quyết các vấn đề từ trên nhóm.$S_4$

Về tính phẳng, người ta muốn tin rằng tính phẳng có thể áp đặt các hạn chế / tắc nghẽn trong luồng thông tin. Điều này không phải lúc nào cũng đúng: ví dụ, các biến thể của 3SAT phẳng được biết là hoàn thành NP. Tuy nhiên, trong các lớp nhỏ hơn, những hạn chế này có nhiều khả năng "giữ" hơn.

Trong tĩnh mạch tương tự, Wigderson cho thấy NL / poly = UL / poly sử dụng bổ đề cách ly. Chúng tôi không biết làm thế nào để giải quyết vấn đề cô lập đối với các DAG tùy ý để có được NL = UL, nhưng chúng tôi biết cách làm như vậy đối với các DAG phẳng.

m mod $\bmod m$$m$$\bmod p$

Hãy xem xét lớp các mạch có độ sâu không đổi chỉ bao gồm các cổng , và các đầu vào và hằng số ở các lá. Sau đó, người ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng hàm OR (ví dụ) không thể được tính bằng các mạch như vậy, bất kể kích thước của mạch. (Điều này là do bất kỳ mạch nào như vậy sẽ tính đa thức bậc thấp so với và mức độ OR là ).F p$\bmod p$$\mathbb{F}_p$$n$

Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét các mạch chỉ bao gồm các cổng trong đó có ít nhất hai thừa số nguyên tố riêng biệt, thì có một mạch độ sâu (có kích thước theo cấp số nhân) cho hàm OR.m $\bmod m$$m$$2$

Và trước kết quả của Ryan, tôi đoán là lớp nhỏ nhất mà chúng tôi không có bất kỳ giới hạn thấp nào.$AC^0[\bmod 6]$

Chỉ để giải thích về hai điểm của bạn:

Nếu chúng ta đang kinh doanh trong việc hiểu tính toán, đếm mô-đun là một trong những biên giới của sự hiểu biết của chúng ta. Đếm mô-đun là một trong những hiện tượng đơn giản và tự nhiên nhất trong tính toán, nhưng dường như chúng ta hiểu rất ít về nó. Chúng ta không thể loại trừ khả năng 3 mạch có độ sâu đa thức chỉ với các cổng Mod6 có thể tính toán mọi hàm trong NP. Tuy nhiên, người ta phỏng đoán rằng các mạch như vậy chỉ có thể tính toán các hàm với kích thước hỗ trợ lớn và do đó không thể tính được một hàm rất đơn giản như AND. Ở phía trên, tình hình là tương tự, chúng tôi không có kết quả không tầm thường.

Những câu hỏi này cũng rất thú vị từ góc độ toán học thuần túy vì chúng được liên kết chặt chẽ với các câu hỏi rất tự nhiên về đa thức và ma trận trên Z_m. Để đưa ra một ví dụ, chúng ta không có giới hạn thấp hơn cho thứ hạng của ma trận mã hóa nxn trên Z_6. Một ma trận mã hóa có 0s trên đường chéo và khác không đường chéo.