Chúng ta biết gì về các phiên bản hạn chế của vấn đề tạm dừng

( CẬP NHẬT : một câu hỏi được hình thành tốt hơn được đặt ra ở đây vì các ý kiến ​​cho câu trả lời được chấp nhận dưới đây cho thấy câu hỏi này không được xác định rõ)

Bằng chứng cổ điển về tính không thể của vấn đề tạm dừng phụ thuộc vào việc chứng minh mâu thuẫn khi cố gắng áp dụng thuật toán phát hiện tạm dừng cho chính nó làm đầu vào. Xem nền dưới đây để biết thêm thông tin.

Mâu thuẫn được chứng minh áp dụng vì một nghịch lý tự tham chiếu (như câu "Câu này không đúng"). Nhưng nếu chúng ta nghiêm cấm việc tự tham khảo như vậy (nghĩa là chấp nhận thực tế là việc tự tham khảo như vậy không thể quyết định được để dừng lại), thì chúng ta sẽ để lại kết quả gì? Là vấn đề tạm dừng cho bộ máy không tự giới thiệu còn lại có thể quyết định dừng lại hay không?

Các câu hỏi là:

Nếu chúng ta xem xét một tập hợp con của tất cả các máy Turing có thể, không tự tham chiếu (nghĩa là không lấy chúng làm đầu vào), chúng ta biết gì về vấn đề tạm dừng cho tập hợp con này?

CẬP NHẬT

Có lẽ một sự cải tổ tốt hơn về những gì tôi đang theo là một sự hiểu biết tốt hơn về những gì định nghĩa một tập hợp quyết định. Tôi đã cố gắng cô lập bằng chứng không thể thiếu cổ điển bởi vì nó không thêm bất kỳ thông tin nào về tính không ổn định ngoại trừ các trường hợp bạn tự chạy HALT.

Bối cảnh: Giả sử có mâu thuẫn rằng có một máy Turing có thể quyết định đầu vào là mã hóa cho máy Turing và , có dừng hay không . Sau đó, hãy xem xét một máy Turing lấy và và sử dụng để quyết định xem dừng hay không, và sau đó làm ngược lại, tức là dừng lại nếu không dừng lại và không dừng lại nếu dừng lại. Sau đó thể hiện một mâu thuẫn, nhưM X M ( X ) K M X Q M ( X ) K M ( X ) M ( X ) K ( K ) $Q$$M$$X$$M(X)$$K$$M$$X$$Q$$M(X)$$K$$M(X)$$M(X)$$K(K)$$K$ nên dừng lại nếu nó không dừng lại, và không dừng lại khi nó dừng lại.

Động lực: Một đồng nghiệp đang nghiên cứu xác minh chính thức các hệ thống phần mềm (đặc biệt khi hệ thống đã được chứng minh ở cấp mã nguồn và chúng tôi muốn kiểm tra lại phiên bản đã biên dịch của nó, để vô hiệu hóa các vấn đề của trình biên dịch), và trong trường hợp của anh ta, anh ta quan tâm đến bộ chương trình điều khiển nhúng đặc biệt mà chúng tôi biết chắc chắn chúng sẽ không tự tham chiếu. Một khía cạnh của xác minh mà anh ta muốn thực hiện là liệu có đảm bảo rằng chương trình được biên dịch sẽ dừng lại nếu mã nguồn đầu vào được chứng minh là chấm dứt.

CẬP NHẬT

Dựa trên các ý kiến ​​dưới đây, tôi làm rõ ý nghĩa của các máy Turing không tự tham khảo.

Mục tiêu là xác định nó là tập hợp không dẫn đến mâu thuẫn được nêu trong bằng chứng (xem "Bối cảnh" ở trên). Nó có thể được định nghĩa như sau:

Giả sử rằng có một máy Turing quyết định sự cố tạm dừng cho một bộ máy Turing , thì không tự tham chiếu đến nếu loại trừ tất cả các máy gọi trên (trực tiếp hoặc gián tiếp). (Rõ ràng điều đó có nghĩa là không thể là thành viên của )S S Q Q S Q $Q$$S$$S$$Q$$Q$$S$$Q$$S$

Để làm rõ về ý nghĩa của việc gọi trên một cách gián tiếp:$Q$$S$

Gọi trên được biểu thị bằng máy Turing với một tập hợp các trạng thái và một đầu vào ban đầu có thể có trên băng (tương ứng với bất kỳ thành viên nào của ), với đầu ban đầu ở đầu đầu vào đó. Một máy gọi trên "một cách gián tiếp" nếu có một chuỗi các bước (hữu hạn) mà sẽ thực hiện để làm cho cấu hình của nó "đồng hình" với cấu hình ban đầu của .S Q S W Q S W Q ( S $Q$$S$$Q$$S$$W$$Q$$S$$W$$Q(S)$

CẬP NHẬT 2

Từ một câu trả lời dưới đây cho rằng có vô số máy Turing thực hiện cùng một nhiệm vụ và vì vậy không phải là duy nhất, chúng tôi thay đổi định nghĩa ở trên bằng cách nói rằng không phải là một máy Turing duy nhất, mà là bộ (vô hạn) của tất cả các máy tính cùng chức năng (HALT), trong đó HALT là chức năng quyết định máy Turing tạm dừng trên một đầu vào cụ thể.$Q$$Q$

CẬP NHẬT 3

Định nghĩa của đồng cấu Turing Machine:

TM A đồng hình với TM B nếu đồ thị chuyển tiếp của A đồng hình với B, theo nghĩa đồng nhất tiêu chuẩn của đồ thị có các nút VÀ cạnh có nhãn. Biểu đồ chuyển tiếp (V, E) của TM sao cho V = trạng thái, E = cung tròn chuyển tiếp giữa các trạng thái. Mỗi cung được dán nhãn bằng biểu tượng (S, W, D), S = đọc băng và W = ký hiệu được ghi vào đó và D = hướng mà đầu hiển thị di chuyển đến.

Tôi nghĩ rằng sẽ cần thêm một chút công việc để đi đến một câu hỏi "được xác định rõ". Đặc biệt, đây là vấn đề:

Gọi Q trên S được biểu thị bằng máy Turing Q với một tập hợp các trạng thái và một đầu vào ban đầu có thể có trên băng (tương ứng với bất kỳ thành viên nào của S), với đầu ban đầu ở đầu đầu vào đó. Một máy W gọi Q trên S "một cách gián tiếp" nếu có một chuỗi các bước (hữu hạn) mà W sẽ thực hiện để làm cho cấu hình của nó "đồng hình" với cấu hình ban đầu của Q (S).

Một vấn đề là có vô số máy Turing tính toán cùng chức năng. Trong đối số đường chéo tiêu chuẩn, tôi chỉ có thể thay thế chương trình con Q bằng một người quyết định khác cho HALT, vì có vô số trong số chúng. Hoặc một chức năng tương đương với HALT. Vì vậy, nó không hoàn toàn rõ ràng với tôi làm thế nào để xác định khái niệm của bạn về "lời mời gián tiếp".

Một câu hỏi khác có thể là: đối với những bộ máy Turing nào thì vấn đề tạm dừng có thể quyết định được? Ở đây có rất nhiều câu trả lời: TM bị hạn chế tài nguyên (ví dụ: chỉ sử dụng không gian f (n), trong đó f là một số chức năng tính toán cụ thể), các TM bị hạn chế hoạt động theo một cách cụ thể nào đó (ví dụ: đầu đọc chỉ di chuyển một chiều), v.v. Tuy nhiên, một câu hỏi thú vị khác là liệu tư cách thành viên trong tập hợp bị hạn chế đó có thể quyết định được không, hoặc liệu bạn có phải hạn chế "vấn đề hứa hẹn" hay không, trong đó bạn chỉ đảm bảo câu trả lời đúng cho một số tập hợp con "đã hứa", nhưng không xác minh thành viên.

Nếu tôi hiểu động cơ của bạn một cách chính xác, có vẻ như đây là vấn đề "tính chính xác của trình biên dịch" hơn là vấn đề "hạn chế tạm dừng". Bạn có một thuộc tính (chấm dứt) mà bạn đã chứng minh cho một số chương trình cấp nguồn Prog mà bạn muốn sau đó mở rộng sang mã được biên dịch để có cùng thuộc tính được biên dịch (Prog) . Nhưng trình biên dịch có thể (nói chung) có thể làm những việc ngớ ngẩn một cách tùy tiện như thực hiện một thời gian chạy hoàn chỉnh (giả sử JVM), biên dịch chương trình kết thúc của bạn thành một mã byte JVM và sau đó loại bỏ một tệp thực thi để khởi động JVM và cung cấp cho mã byte được biên dịch của bạn.

Trong thực tế , có thể hoàn toàn có thể sử dụng kiến ​​thức ngầm mà bạn có về cách trình biên dịch của bạn hoạt động để thực hiện một quy trình xác minh nào đó chứng minh rằng các chương trình được biên dịch chính xác đã cung cấp các chương trình nguồn chính xác (thực sự, rất nhiều công cụ xác minh tự động cho các chương trình đang sử dụng kiến ​​thức ngầm của "trình biên dịch" thuật toán thành mã trong bộ não của các lập trình viên). Tuy nhiên, nói chung có lẽ bạn đang xem xét một vấn đề về tính chính xác của trình biên dịch. Theo tôi hiểu, có hai cách cổ điển để làm như vậy.

Một tùy chọn là có một trình biên dịch lấy đầu vào chương trình Prog và bằng chứng chấm dứt (Prog) và đầu ra được biên dịch (Prog) và kết thúc (được biên dịch (Prog)) - sau đó là bằng chứng có thể được kiểm tra độc lập trình biên dịch. Bài báo kinh điển về vấn đề này là Necula và Lee . Thiết kế và triển khai trình biên dịch chứng nhận , tôi tin.

Ngoài ra, bạn có thể chứng minh một thực tế về hàm biên dịch () - rằng bất cứ khi nào biên dịch () đưa ra một đầu vào kết thúc, nó sẽ tạo ra một đầu ra kết thúc. Một giới thiệu dễ tiếp cận về cách suy nghĩ này về tính chính xác của trình biên dịch là bài viết CACM của Xavier Leroy, Xác minh chính thức của một trình biên dịch thực tế .

(PS Tôi hy vọng câu trả lời này hữu ích - Tôi nhận ra nó hơi khác so với câu hỏi bạn đã hỏi, vì vậy hãy cho tôi biết nếu tôi rời khỏi cơ sở và / hoặc lặp lại điều gì đó bạn đã biết.)