Hệ thống phân cấp thống nhất của các vấn đề kéo dài sự phức tạp và hệ thống phân cấp tính toán

Có ai biết về một tập hợp các vấn đề thay đổi đồng đều và trải qua một trong những thứ bậc "thú vị" về độ phức tạp và khả năng tính toán không? Thật thú vị, ý tôi là, ví dụ, Phân cấp đa thức, Phân cấp số học hoặc Phân cấp phân tích. Hoặc có thể (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP, $\ldots$

$0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

Mặt khác, cuốn sách của Harel, Kozen và Tiuryn có một bộ các vấn đề ốp lát khác nhau đó là NP, , và hoàn tất. Các vấn đề rất hữu ích để hiển thị mức giảm, nhưng không hoàn toàn rõ ràng nếu chúng khái quát hóa thống nhất để bao quát các cấp khác của hệ thống phân cấp mà chúng ngồi. $\Pi^0_1$ $\Sigma^0_2$ $\Sigma^1_1$

Có ai biết về một tập hợp cụ thể, các vấn đề thống nhất như vậy trải qua một hệ thống phân cấp không?

EDIT: Chỉ cần làm rõ, tôi biết rằng 3 hệ thống phân cấp tôi đưa ra ở trên đều có định nghĩa chuẩn về cường độ định lượng xen kẽ. Đó không phải là những gì tôi đang tìm kiếm. Tôi đang tìm kiếm một cái gì đó khác biệt, như một trò chơi trên đồ thị hoặc một câu đố được chơi với nghiêng.

cc.complexity-theory computability

— Đánh dấu Reitblatt
nguồn

Có các vấn đề dựa trên đồ thị (ví dụ khả năng tiếp cận) và các vấn đề dựa trên logic (đánh giá mạch hoặc công thức bậc nhất). ps: bạn đã thử biến trò chơi ốp lát giữa hai người chơi với số vòng xác định hoặc sức mạnh tính toán hạn chế chưa? btw, nó có thể hữu ích nếu bạn làm rõ ý của bạn bằng các từ "thống nhất" và "cụ thể".

— Kaveh

Có, có các vấn đề về đồ thị hoặc mạch có các biến thể hoàn thành cho một vài cấp độ. Nhưng bạn có thể tìm thấy sự tương tự hoàn thành cho tất cả các cấp của một hệ thống phân cấp? Theo đồng phục, ý tôi là để đi lên trong hệ thống phân cấp, bạn chỉ cần thay đổi một số tham số theo một cách thống nhất. Ví dụ: bạn tăng số lượng X lên một, trong đó X là một số tham số của vấn đề. Bằng bê tông tôi chỉ có nghĩa là có thể truy cập. Tôi không coi hệ thống phân cấp của vấn đề tạm dừng là đặc biệt dễ tiếp cận. Mặt khác, một cái gì đó như SAT hoặc QBF cụ thể hơn.

— Đánh dấu Reitblatt

Tiếp tục bình luận của Kaveh: một ngôn ngữ như vậy cũng có khả năng là đồng phân p với TQBF, trừ khi ai đó có kế hoạch chứng minh rằng phỏng đoán đẳng cấu Berman-Hartmanis thất bại ở một số (hoặc mọi) mức độ PH. Trong trường hợp này, nó sẽ là một sự ngụy trang rất mỏng, vì nó chỉ đơn thuần là một mã hóa lại của TQBF, nghĩa là, bạn đã viết ra các công thức mệnh đề được định lượng bằng cách sử dụng một mã hóa boolean khác.

— Joshua Grochow

@Mark: Tôi không có trực giác tốt cho phỏng đoán đẳng cấu. Giấy BH gốc cho rằng nó có thể đúng; Joseph và Young sau đó cho rằng các hàm một chiều có thể cho thấy nó sai (về cơ bản: áp dụng hàm một chiều cho SAT để có được một bộ hoàn chỉnh NP có lẽ không phải là đẳng cấu với SAT), nhưng sau đó Rogers cho thấy các thế giới tương đối nhận ra tất cả bốn khả năng lại: sự tồn tại của các hàm một chiều và phỏng đoán đẳng cấu. Vì vậy, tôi không biết có thực sự đồng thuận tại thời điểm này. Đây là bài báo của Rogers: dx.doi.org.proxy.uchicago.edu/10.1006/jcss.1997.1486

— Joshua Grochow

(Bài viết của John Rogers dường như muộn hơn khoảng 2 năm so với cuộc thảo luận trên blog CC, nhưng tôi không biết chính xác lịch sử khi anh ta nhận được kết quả, trái ngược với khi nó được xuất bản lần đầu tiên.)

— Joshua Grochow

[Xây dựng nhận thức sâu sắc của Kaveh trong các bình luận.] Dường như không ai có thể đưa ra một gia đình vấn đề khác biệt đáng kể so với công thức boolean được định lượng, mà không bác bỏ phỏng đoán PH-analog của Berman-Hartmanis. Không có điều đó, bất kỳ vấn đề nào bạn nghĩ ra sẽ không chỉ tương đương với , mà trên thực tế là đồng hình với nó. Một cách để xác định đẳng cấu giữa hai ngôn ngữ ở đây là lấy một ngôn ngữ trừu tượng duy nhất, nhưng mã hóa các đối tượng của nó (trong trường hợp này là các công thức boolean được định lượng) bằng cách sử dụng hai mã hóa boolean khác nhau. $QBF_k$

Mặt khác, đẳng cấu không nhất thiết là một thẩm phán tốt về những gì hữu ích cho mọi người để đưa ra bằng chứng. Xét cho cùng, trong hệ thống phân cấp số học, Định lý đẳng cấu của Myhill chứng minh sự tương tự số học của phỏng đoán đẳng cấu BH (thực tế, đó là lịch sử ngược từ khi BH được thúc đẩy bởi Myhill). Tuy nhiên, như câu hỏi chỉ ra, có một số đặc điểm "trông khác nhau" ở nhiều cấp độ khác nhau, một số trong đó hữu ích cho bằng chứng hơn các loại khác.

Mặc dù dường như không ai có thể đưa ra một họ ngôn ngữ thống nhất như vậy cho mọi cấp độ PH, hai cuộc khảo sát ( một , hai ) của Schaefer và Umans thảo luận về các vấn đề tự nhiên mà ít nhất là "trông khác biệt" với QBF trong vài lần đầu tiên mức độ PH.

— Joshua Grochow
nguồn

Kết nối tốt đẹp đến BH. :)

— Kaveh