Có bằng chứng nào về tính không ổn định của vấn đề tạm dừng không phụ thuộc vào tự tham chiếu hoặc đường chéo?

Đây là một câu hỏi liên quan đến câu hỏi này . Đặt nó một lần nữa ở dạng đơn giản hơn nhiều sau nhiều cuộc thảo luận ở đó, rằng nó cảm thấy giống như một câu hỏi hoàn toàn khác.

Bằng chứng cổ điển về tính không ổn định của vấn đề tạm dừng phụ thuộc vào việc chứng minh mâu thuẫn khi cố gắng áp dụng một người quyết định HALT giả thuyết cho chính nó. Tôi nghĩ rằng đây chỉ là biểu thị sự bất khả thi của việc có người quyết định HALT quyết định liệu bản thân có dừng lại hay không, nhưng không đưa ra bất kỳ thông tin nào ngoài khả năng quyết định tạm dừng của bất kỳ trường hợp nào khác .

Vì vậy, câu hỏi là

Có bằng chứng nào cho thấy vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được mà không phụ thuộc vào việc cho thấy HALT không thể tự quyết định, cũng không phụ thuộc vào đối số đường chéo?

Chỉnh sửa nhỏ: Tôi sẽ cam kết với cụm từ ban đầu của câu hỏi, đó là yêu cầu một bằng chứng hoàn toàn không phụ thuộc vào đường chéo (thay vì chỉ yêu cầu nó không phụ thuộc vào đường chéo phụ thuộc vào HALT).

Vâng, có những bằng chứng như vậy trong lý thuyết tính toán (hay còn gọi là lý thuyết đệ quy).

Trước tiên, bạn có thể thấy rằng vấn đề ngăn chặn (tập ) có thể được sử dụng để tính toán một tập G ⊆ N đó là 1-generic nghĩa rằng trong một nhận thức của mỗi Σ 0 1 thực tế về G được quyết định bởi một tiền tố hữu hạn của G . Sau đó, thật dễ dàng để chứng minh rằng một tập hợp G như vậy không thể tính toán được (nghĩa là có thể quyết định).$0'$$G\subseteq\mathbb N$$\Sigma^0_1$$G$$G$$G$

Chúng ta có thể thay thế 1- chung ở đây bằng 1-ngẫu nhiên, tức là ngẫu nhiên Martin-Löf , cho cùng một hiệu ứng. Điều này sử dụng Định lý cơ sở thấp Jockusch-Soare .

(Cảnh báo: người ta có thể xem xét chỉ thấy tính Chaitin của Ω , mà là 1-ngẫu nhiên, nhưng ở đây chúng ta phải cẩn thận về việc liệu các bằng chứng cho thấy Ω là 1-ngẫu nhiên dựa trên vấn đề ngăn chặn là undecidable Vì vậy nó an toàn hơn để! chỉ cần sử dụng Định lý cơ sở thấp).$0'$$\Omega$$\Omega$

Đăng lại từ nhận xét của tôi theo yêu cầu:

Bắt đầu với việc quan sát rằng có những vấn đề không thể giải quyết được (đối số cardinality đơn giản) và hơn nữa, có một vấn đề P không thể giải quyết được có TM M nhận ra các thành viên của mình (nhưng không thể chấm dứt đối với những người không phải là thành viên). Bây giờ, việc giải HALT (M) cung cấp cho bạn một người quyết định cho P. Trước tiên, chúng tôi kiểm tra xem M có dừng trên x không. Nếu có, chúng tôi sẽ chạy nó và trả về giống như M. Nếu không, chúng tôi từ chối, vì M dừng lại trên mọi thành viên của P. Đây là một mâu thuẫn vì chúng tôi cho rằng P là không thể giải quyết được.

Lưu ý: Anh ấy đã làm rõ rằng anh ấy đang tìm kiếm một đối số tránh đường chéo bằng cách sử dụng HALT trực tiếp, không phải là một đối số tránh đường chéo hoàn toàn.

EDIT: Đối số này bị mắc kẹt. Bạn có thể chỉ ra trực tiếp rằng RE - REC không trống, ngoài ra để hiển thị rằng HALT đang ở đó?

Một poster khác ám chỉ điều này (bằng cách đề cập đến Chaitin), nhưng bạn có thể sử dụng nghịch lý Berry để chứng minh rằng vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được. Dưới đây là một bản phác thảo ngắn gọn của bằng chứng:

Đặt HALT là máy quyết định xem có bất kỳ máy M nào dừng đầu vào I. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng chính HALT không dừng lại ở một đầu vào cụ thể, điều đó cho thấy rằng nó không thể quyết định ngôn ngữ.

Xét hàm sau f:

f (M, n) = a, trong đó a là số nguyên dương nhỏ nhất không thể tính được bằng máy M trên bất kỳ đầu vào I nào với | I | <n

Giả sử HALT là hàm tính toán, f cũng là hàm tính toán; chỉ cần mô phỏng HALT (M, I) cho mọi máy M và chuỗi đầu vào I có độ dài I nhỏ hơn n. Nếu quá trình mô phỏng dừng lại, sau đó mô phỏng M (I) và ghi lại đầu ra là gì và tìm đầu ra nhỏ nhất a không được xuất ra bởi bất kỳ cặp M, n nào.

Bây giờ, chúng tôi cho thấy rằng f không thể tính toán được: hãy xem xét f (f, 10000000 * | f | +10000000). Dù đầu ra là gì, nó phải là một số nguyên (dương) không thể tính toán được bằng máy tính f trên đầu vào I với độ dài nhỏ hơn ... và chúng tôi đã xuất ra một số nguyên như vậy với f và mạnh hơn nhiều đầu vào.

Do đó, f không thể tính toán được và do đó, giả định của chúng tôi rằng HALT có thể tính toán được là sai. Tôi không tin bằng chứng này làm cho bất kỳ việc sử dụng đường chéo.

$\{W_e\}_{e=1}^{\infty}$$f$$e$$W_e = W_{f(e)}$$0$$f$$e$$0$$W_e$$0$$e$$W_e(0)$$W_{f(e)}(0)$