Làm thế nào để giấy BosonSampling tránh các lớp ma trận phức tạp dễ dàng?

Trong độ phức tạp tính toán của quang học tuyến tính ( ECCC TR10-170 ), Scott Aaronson và Alex Arkhipov lập luận rằng nếu máy tính lượng tử có thể được mô phỏng hiệu quả bằng máy tính cổ điển thì hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ xuống cấp độ thứ ba. Vấn đề thúc đẩy là lấy mẫu từ một phân phối được xác định bởi mạng quang-tuyến tính; phân phối này có thể được thể hiện dưới dạng vĩnh viễn của một ma trận cụ thể. Trong trường hợp cổ điển, tất cả các mục của ma trận đều không âm, và do đó tồn tại thuật toán đa thức xác suất, như được hiển thị bởi Mark Jerrum, Alistair Sinclair và Eric Vigoda (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738). Trong trường hợp lượng tử, các mục là số phức. Lưu ý rằng trong trường hợp chung (khi các mục nhập không bắt buộc là không âm), vĩnh viễn không thể được xấp xỉ ngay cả trong một yếu tố không đổi, theo kết quả kinh điển năm 1979 của Valiant.

Bài viết định nghĩa phân phối được xác định bởi ma trận A và vấn đề lấy mẫu$D_A$$A$

BosonSampling
Input: matrix Mẫu: từ phân phối D $A$
$D_A$

Sử dụng kết quả độ cứng dường như là bằng chứng yếu cho sự tách biệt giữa thế giới cổ điển và lượng tử, vì có thể lớp ma trận trong thiết lập lượng tử cụ thể sẽ có dạng đặc biệt. Chúng có thể có các mục phức tạp, nhưng vẫn có thể có nhiều cấu trúc. Do đó, có thể tồn tại một quy trình lấy mẫu hiệu quả cho các ma trận như vậy, mặc dù vấn đề chung là # P-hard.

Làm thế nào để sử dụng BosonSampling trong bài báo tránh các lớp dễ dàng?

Bài viết sử dụng rất nhiều nền tảng mà tôi không có về độ phức tạp lượng tử. Với tất cả những người lượng tử trên trang web này, tôi thực sự đánh giá cao một con trỏ đi đúng hướng. Làm thế nào các đối số sẽ giữ vững nếu người ta phát hiện ra rằng lớp ma trận có giá trị phức tạp được thấy trong một thiết lập thử nghiệm cụ thể thực sự tương ứng với một lớp phân phối dễ lấy mẫu từ đó? Hoặc có một cái gì đó vốn có trong hệ thống lượng tử đảm bảo điều này không thể xảy ra?

Cảm ơn câu hỏi của bạn! Có hai câu trả lời, tùy thuộc vào việc bạn quan tâm đến kết quả độ cứng cho BosonSampling chính xác hay gần đúng .

Trong trường hợp chính xác, chúng tôi chứng minh rằng với bất kỳ ma trận phức A-by-n nào, bạn có thể xây dựng một thí nghiệm quang học tạo ra một đầu ra cụ thể với xác suất tỷ lệ thuận với | Per (A) | ² . Đến lượt mình, điều này ngụ ý rằng không có thuật toán đa thức thời gian cổ điển nào có thể lấy mẫu từ phân phối chính xác giống như thí nghiệm quang học (đưa ra mô tả về thử nghiệm làm đầu vào), trừ khi P ^#P = BPP ^NP . Trong thực tế, chúng ta có thể củng cố điều đó, để đưa ra một phân phối duy nhất D _n (chỉ phụ thuộc vào độ dài đầu vào n) có thể được lấy mẫu bằng cách sử dụng một thí nghiệm quang có kích thước poly (n), nhưng không thể lấy mẫu theo kiểu kinh điển trong poly (n) ) thời gian trừ khi P ^#P = BPP ^NP .

Trong trường hợp gần đúng, tình hình phức tạp hơn. Kết quả chính của chúng tôi nói rằng, nếu có một thuật toán đa thức thời gian cổ điển mô phỏng thí nghiệm quang học thậm chí xấp xỉ (theo nghĩa lấy mẫu từ phân phối xác suất trên các đầu ra có tỷ lệ 1 / poly (n) trong khoảng cách biến đổi), thì trong BPP ^NP , bạn có thể tính gần đúng | Per (A) | ² , với xác suất cao đối với ma trận n-by-n A của iid Gaussian với giá trị trung bình 0 và phương sai 1.

Chúng tôi phỏng đoán rằng vấn đề trên là # P-hard (ít nhất, không phải trong NPP ^NP ), và các trang 57-82 của bài báo của chúng tôi đều là bằng chứng cho phỏng đoán đó.

Tất nhiên, có thể phỏng đoán của chúng tôi là sai và người ta thực sự có thể đưa ra thuật toán đa thời gian để tính gần đúng các thời gian của ma trận Gaussian. Đó sẽ là một kết quả phi thường! Tuy nhiên, toàn bộ 85% công việc chúng tôi đã làm là dựa trên mọi thứ dựa trên một phỏng đoán về độ cứng, sạch sẽ, đơn giản và "không lượng tử" nhất có thể. Nói cách khác, thay vì giả định

"xấp xỉ các nhân tố của một số ma trận kỳ lạ, đặc biệt xảy ra trong thí nghiệm của chúng tôi là # P-hard,"

chúng tôi cho thấy rằng nó đủ để đưa ra giả định

"xấp xỉ các nhân tố của ma trận iid Gaussian là # P-hard."