Các ứng dụng của cấu trúc liên kết đến khoa học máy tính

Tôi muốn viết một cuộc khảo sát về các ứng dụng của Topology trong Khoa học máy tính. Tôi có kế hoạch bao gồm lịch sử của các ý tưởng tô pô trong Khoa học Máy tính và cũng nêu bật một vài phát triển hiện tại. Sẽ rất hữu ích nếu bất cứ ai có thể đưa ra đầu vào liên quan đến bất kỳ câu hỏi nào dưới đây.

1. Có bất kỳ bài báo hay ghi chú nào mô tả niên đại của việc sử dụng cấu trúc liên kết trong Khoa học Máy tính không?

2. Ứng dụng quan trọng nhất của kết quả trong cấu trúc liên kết vào khoa học máy tính là gì?

3. Các lĩnh vực thú vị nhất của công việc hiện tại sử dụng cấu trúc liên kết để hiểu rõ hơn về tính toán là gì?

Cảm ơn!

Cá nhân, tôi nghĩ rằng ứng dụng thú vị nhất của cấu trúc liên kết là công việc được thực hiện bởi Herlihy và Shavit. Họ đã sử dụng cấu trúc liên kết đại số để mô tả tính toán phân tán không đồng bộ và đưa ra bằng chứng mới về các kết quả quan trọng đã biết và loại bỏ một số vấn đề mở từ lâu. Họ đã giành giải thưởng Godel 2004 cho tác phẩm đó.

"Cấu trúc tôpô của tính toán không đồng bộ" của Maurice Herlihy và Nir Shavit, Tạp chí ACM, Vol. 46 (1999), 858-923,

Cấu trúc liên kết là một môn học trưởng thành như vậy với các trường con khác nhau bao gồm hình học, đại số, số liệu, tập hợp điểm và cấu trúc liên kết vô nghĩa (tự ti). Khoa học máy tính cũng khá rộng và có nhiều lĩnh vực toán học, vì vậy tôi mong đợi nhiều ứng dụng của các ý tưởng tô pô trong CS. Marshall Stone cho biết "luôn luôn tô pô", và các nhà khoa học máy tính với nền tảng cần thiết thường có. Đủ rồi. Một vài ví dụ.

Những ví dụ này không chỉ là vấn đề CS khó giải quyết bằng cấu trúc liên kết. Đôi khi, một khái niệm tô pô chuyển rất tốt vào một thiết lập CS hoặc tạo cơ sở cho một khu vực con của CS.

1. Định lý tính gọn của logic mệnh đề là hệ quả của định lý Tychonoff. Sự gọn nhẹ cho logic thứ tự đầu tiên thường được chứng minh khác nhau. Nhỏ gọn là một công cụ quan trọng trong lý thuyết mô hình cổ điển.

2. Định lý biểu diễn của Stone cho đại số Boolean liên quan đến các mô hình logic mệnh đề, đại số Boolean và các không gian tôpô nhất định. Các kết quả đối ngẫu loại đá đã được rút ra cho các cấu trúc được sử dụng trong logic đại số và ngữ nghĩa ngôn ngữ lập trình.

3. Nick Pippenger đã áp dụng định lý Stone cho đại số Boolean của các ngôn ngữ thông thường và sử dụng cấu trúc liên kết để chứng minh một số sự thật về các ngôn ngữ thông thường. Xem bình luận của Jean-Eric Pin cho công việc gần đây hơn về cấu trúc liên kết trong lý thuyết ngôn ngữ.

4. Trong các phương pháp chính thức, có các khái niệm về tài sản an toàn và sinh động. Mỗi thuộc tính thời gian tuyến tính có thể được biểu thị như là giao điểm của một thuộc tính an toàn và sinh động. Bằng chứng sử dụng cấu trúc liên kết tiểu học.

5. Martín Escardó đã phát triển các thuật toán và các chương trình bằng văn bản để tìm kiếm các bộ vô hạn. Tôi tin rằng sự nhỏ gọn là một thành phần quan trọng của công việc đó.

6. Công việc của các nhà tô pô học Ba Lan (như Kuratowski) đã cho chúng tôi các nhà khai thác đóng cửa. Các toán tử đóng trên các mạng là một phần quan trọng của lý thuyết giải thích trừu tượng, làm nền tảng cho phân tích chương trình tĩnh.

7. Toán tử đóng và các ý tưởng tô pô khác là cơ sở của hình thái toán học.

8. Khái niệm các nhà khai thác nội thất cũng từ trường học Ba Lan rất quan trọng trong việc tiên đề hóa logic phương thức.

9. Rất nhiều khoa học máy tính dựa trên các cấu trúc dựa trên đồ thị. Một số ứng dụng đòi hỏi các khái niệm phong phú hơn về kết nối và dòng chảy so với các ứng dụng được cung cấp bởi biểu đồ và cấu trúc liên kết là bước tiếp theo tự nhiên. Đây là bài đọc của tôi về automata chiều cao hơn của van Glabbeek trong lý thuyết đồng thời và ứng dụng cấu trúc liên kết hình học của Eric Goubault vào ngữ nghĩa của các chương trình đồng thời.

10. Có thể ứng dụng nhận được nhiều báo chí nhất là ứng dụng cấu trúc liên kết (ban đầu là đại số, mặc dù cũng có nhiều bài thuyết trình kết hợp) để mô tả các kịch bản chịu lỗi nhất định trong điện toán phân tán. Ngoài Herlihy và Shavit đã đề cập ở trên, Borowsky và Gafni, và Saks và Zaharouglou cũng đã đưa ra proosf cho bước đột phá đầu tiên như vậy. Khung tính toán không đồng bộ tạo ra nhiều kết quả như vậy.

11. Định lý điểm cố định của Brouwer đã làm nảy sinh một số vấn đề mà chúng ta nghiên cứu. Gần đây nhất trong nghiên cứu về lý thuyết trò chơi thuật toán, lớp PPAD phức tạp và lớp FixP phức tạp của các vấn đề điểm cố định.

12. Định lý Borsuk-Ulam có một số ứng dụng cho đồ thị và nhúng số liệu. Những điều này được đề cập trong cuốn sách của Jiří Matoušek.

Đây là những lựa chọn ít ỏi ở những gì ngoài kia. Chúc may mắn!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-calculus. Các ngữ nghĩa về cơ bản dựa trên khái niệm gần đúng, được đưa ra bởi thứ tự, và giải pháp phương trình điểm cố định ít nhất, và các giải pháp thường được đảm bảo tồn tại.

Xuất phát từ ngữ nghĩa học biểu thị là các kết nối với giải thích trừu tượng, và phân tích và xác minh chương trình.

Nghiên cứu hiện tại bao gồm việc cung cấp ngữ nghĩa biểu thị cho đồng thời và cho các ngôn ngữ lượng tử.

Abramsky và Jung đưa ra một khảo sát hay về các ý tưởng cốt lõi: Lý thuyết miền .

Giới hạn về số lượng các thành phần được kết nối, và nói chung là số Betti, của các giống bán đại số và sắp xếp siêu phẳng (và bổ sung của chúng) đã được sử dụng cho một số giới hạn thấp hơn trên cây tính toán và quyết định đại số. Đối với chỉ một vài tài liệu tham khảo lớn, xem:

Michael Ben-Or, Giới hạn dưới của cây tính toán đại số, STOC 1983, trang 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Độ phức tạp của cây quyết định và số Betti, J. Comput. Hệ thống khoa học. 55 (1997), không. 1, phần 1, 36-43 (STOC 1994).

Anders Bjorner và Laszlo Lovasz, cây quyết định tuyến tính, sắp xếp không gian con và các chức năng Mobius, J. Amer. Môn Toán. Sóc. 7 (1994), không. 3, 677-706.

Trong một mạch khác nhưng có phần liên quan, Smale đã sử dụng cấu trúc liên kết theo một cách khá thú vị (đặc biệt là hệ thống của nhóm bện) để giảm bớt sự phức tạp của việc tìm kiếm gốc trong mô hình Blum-Shub-Smale:

Smale, S. Về cấu trúc liên kết của thuật toán, Độ phức tạp IJ, 3 (2): 81-89, 1987.

$2^{\omega}$

Điều này có liên quan đến câu trả lời và lý thuyết miền của Dave. Lập luận cơ bản ở đây là khả năng tính toán vốn đã dựa trên các hoạt động địa phương và các quan sát hữu hạn . Bạn có thể nghĩ về khả năng tính toán như một khái niệm tinh tế của cấu trúc liên kết. Ví dụ rõ ràng nhất là:

Tất cả các chức năng tính toán (oracle Turing) đều liên tục. Mặt khác, mọi chức năng liên tục là orory Turing có thể tính toán được với một orory phù hợp.

Bạn có thể tìm thấy nhiều hơn trong cuốn sách "Phân tích tính toán" của Klaus Weihrauch. Bạn cũng có thể muốn xem cuốn sách hay của Steven Vickers có tên "Topology thông qua logic".

Hai bài báo khác có thể phù hợp với khảo sát của bạn ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Cách tiếp cận tô pô để nhận biết, ICALP 2010, Phần II, Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Duality và lý thuyết công bằng của các ngôn ngữ thông thường, Giải thưởng giấy tốt nhất của ICALP 2008, Track B, ICALP 2008, Phần II, Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

Đừng quên phỏng đoán Kneser và bằng chứng Kahn / Saks / Sturtevant cho phỏng đoán Aandera-Rosenberg-Karp.

Không thấy công việc được đề cập của Robert Ghrist , trước đây tại Illinois nhưng bây giờ tại U Penn, áp dụng cấu trúc liên kết vào các công cụ như mạng cảm biến và robot. Đây là một cuộc phỏng vấn tốt đẹp .

Cũng rất liên quan đến công việc của Gunnar Carlsson và cộng sự về việc áp dụng cấu trúc liên kết vào phân tích dữ liệu .

Có lẽ không phải STOC / FOCS TCS, nhưng chắc chắn là khoa học máy tính.

Các lý thuyết để hiểu đồng thời và mô hình hóa các tính toán đồng thời được hiểu rõ nhất về mặt tô pô. Ngoài công trình nổi tiếng của Herlihy và Shavit về cấu trúc cấu trúc liên kết của tính toán không đồng bộ được đề cập trong câu trả lời trước đó - Eric goubault đã thực hiện mô hình hóa đồng thời với hình học và công việc của Pratt trên các ứng dụng của không gian Chu cho đồng thời tại nhóm Đồng thời Stanford cũng rất thú vị mặc dù tôi không quen thuộc với công việc của họ

Tất cả các công việc được Kitaev bắt đầu trên phương pháp tô pô đối với máy tính lượng tử chịu lỗi. Xem bài viết gốc của Kitaev hoặc, ví dụ, ghi chú bài giảng của John Preskill .

Không ai đã đề cập đến cấu trúc liên kết đại số trực tiếp , trong thực tế đã được phát triển để cung cấp một hộp công cụ tô pô đại số phù hợp cho nghiên cứu đồng thời.

Ngoài ra còn có một số cách tiếp cận tôpô chiều thấp cho các chủ đề trong lý thuyết tính toán, tất cả đều khá mới:

• Các cách tiếp cận khác nhau để tính toán lượng tử anyonic chịu lỗi dựa trên lý thuyết về bím tóc. Xem ví dụ TẠI ĐÂY và TẠI ĐÂY . Ngoài ra với các mạng lưới tính toán lượng tử đáng tin cậy TẠI ĐÂY .
• Các hình thức dựa trên cấu trúc liên kết theo sơ đồ cho phép tính lambda (ví dụ TẠI ĐÂY , trang 46-48 và TẠI ĐÂY ) và cho phép tính pi của Milner ( TẠI ĐÂY ).
• Sử dụng nối các mớ màu để mô hình đệ quy và chuỗi Markov. Xem ví dụ TẠI ĐÂY và TẠI ĐÂY . Trong thực tế, nó đã được chứng minh (chưa được công bố) rằng bất kỳ tính toán máy Turing và bất kỳ mạng thần kinh bậc nhất tái phát nào cũng có thể được mô hình hóa theo cách này.
• Có một chủ nghĩa hình thức lý thuyết cao hơn cho tính toán lượng tử trong đó các sơ đồ tô pô đại diện cho các tính toán, và các sơ đồ tương đương tôpô đại diện cho các quy trình khác nhau có nội dung tính toán giống hệt nhau. Xem TẠI ĐÂY .

Một số ứng dụng để nhúng số liệu.

Kiểm tra cuốn sách này của Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Ngoài ra kiểm tra các giấy tờ:

• Bi-Lipschitz nhúng vào không gian Euclide chiều thấp, J. Matousek (1990) (Ông sử dụng định lý van Kampen để chứng minh giới hạn dưới)
• Tính không tương thích cho các phép nhúng số liệu vào R ^ d, J. Matousek và A. Sidiropoulos

đọc cuốn sách này:

Xem trang web lưu trữ của nó

Kiểm tra cuốn sách này, Độ phức tạp tính toán: Một quan điểm định lượng, nó nghiên cứu kích thước của một số lớp phức tạp bằng cách sử dụng các công cụ tô pô giới hạn tài nguyên.

$P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$