Đặt bìa cho ma trận hoán vị

Cho một tập hợp các ma trận hoán vị nxn (chỉ là một phần nhỏ của ma trận hoán vị có thể có), làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy các tập con có kích thước tối thiểu T của S sao cho việc thêm các ma trận của T có ít nhất 1 ở mọi vị trí?

Tôi quan tâm đến vấn đề này trong đó S là một nhóm nhỏ của S_n. Tôi tự hỏi liệu có thể tìm ra (và thực hiện!) Các thuật toán gần đúng nhanh hơn nhiều so với các thuật toán tham lam (chạy nhiều lần cho đến khi nó gặp 'may mắn', đó là một thủ tục rất chậm nhưng dù sao nó cũng đã đưa ra một số giới hạn gần tối ưu trong các trường hợp nhỏ), hoặc liệu khả năng không gần đúng đảm bảo rằng tôi không thể.

Một vài sự thật dễ dàng về vấn đề này: Một nhóm ma trận hoán vị dài n giải quyết vấn đề này, tất nhiên là tối ưu. (Ít nhất n ma trận là cần thiết bởi vì mỗi ma trận hoán vị có n cái và có n ^ 2 cái cần thiết.)

Các bộ S mà tôi quan tâm không có nhóm n-chu kỳ trong đó.

Vấn đề này là một trường hợp rất đặc biệt của thiết lập bìa. Thật vậy, nếu chúng ta đặt X là tập hợp (1,2, ... n) * (1,2, ... n), với n ^ 2 phần tử, thì mỗi ma trận hoán vị tương ứng với một tập con kích thước n và I Tôi đang tìm kiếm tập hợp con nhỏ nhất của các tập hợp con này bao trùm X. Bản thân bộ bìa không phải là một cách tốt để xem xét vấn đề này, bởi vì gần đúng của vấn đề bao trùm chung.

Lý do duy nhất tại sao vấn đề này không quá chậm khi sử dụng phương pháp tham lam là bởi vì tính đối xứng trong nhóm hoán vị giúp loại bỏ rất nhiều sự dư thừa. Cụ thể, nếu S là một nhóm con và T là một tập hợp con nhỏ là một tập hợp che phủ tối thiểu, thì các tập sT (nhân T với bất kỳ phần tử nào của nhóm) vẫn nằm trong S và vẫn là một tập hợp che phủ (tất nhiên có cùng kích thước, vì vậy vẫn còn tối thiểu.) Trong trường hợp bạn đang tự hỏi, trường hợp thành công có n ~ 30 và | S | ~ 1000, với kết quả tham lam may mắn có | T | ~ 37. Các trường hợp có n ~ 50 có một số giới hạn rất kém phải mất một thời gian rất dài để có được.

Tóm lại, tôi tự hỏi liệu có cách tiếp cận gần đúng cho vấn đề này hay không nếu nó vẫn đủ chung để phù hợp với một số định lý không thể gần đúng - giống như có vấn đề bao trùm chung. Những thuật toán được sử dụng để gần đúng các vấn đề liên quan trong thực tế? Có vẻ như có thể có một cái gì đó có thể vì các tập hợp con có cùng kích thước và mọi phần tử xuất hiện ở cùng tần số 1 / n.

-B

Dưới đây là một phân tích gần như chặt chẽ của approximability cho trường hợp S là không cần thiết để trở thành một nhóm con của nhóm đối xứng.

Vấn đề này là một trường hợp đặc biệt của Set Cover và có một thuật toán xấp xỉ tham lam đơn giản [Joh74]. Nếu chúng ta biểu thị số hài thứ k là H _k = _{i = 1} ^k 1 / i , thuật toán tham lam đạt được tỷ lệ gần đúng H _n = ln n + (1). (Có một thuật toán [DF97] dẫn đến tỷ lệ xấp xỉ tốt hơn một chút H _n −1/2.) ( Chỉnh sửa : Bản sửa đổi 2 và trước đó đã nêu tỷ lệ xấp xỉ của thuật toán tham lam kém hơn giá trị chính xác.)

Hơn nữa, điều này gần như tối ưu theo nghĩa sau:

Định lý . Set bìa cho hoán vị Ma trận không có thể xấp xỉ trong một tỷ lệ xấp xỉ (1- ε ) ln n cho bất kỳ liên tục 0 < ε <1 trừ NP ⊆ dtime ( n ^{O (log log n )} ).

Dưới đây là một bản phác thảo của một bằng chứng. Chúng tôi viết [ n ] = {1, Hoài, n }. Chúng tôi sẽ xây dựng một giảm từ Set Cover:

Đặt
Instance Cover : Một số nguyên dương m và tập hợp C các tập con của [ m ].
Giải : Một tập con D của C sao cho liên kết của các tập hợp trong D bằng [ m ].
Mục tiêu : Tối thiểu hóa | D |.

Đó là một kết quả nổi tiếng bởi Feige [Fei98] rằng Set bìa không có thể xấp xỉ trong một tỷ lệ xấp xỉ (1- ε ) ln m cho bất kỳ liên tục 0 < ε <1 trừ NP ⊆ dtime ( n ^{O (log log n )} ).

Đặt ( m , C ) là một thể hiện của Set Cover. Chúng tôi sẽ xây dựng một thể hiện ( n , S ) của Set Cover cho ma trận hoán vị.

$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$i ≤ n (trong đó chỉ số i +2 được hiểu là modulo n ). Với 0≤ j ≤ m , xác định S _j = { P _E Q ^j : E ∈ C ∪ {{ m +1}}} và S = S ₀ ∪ Rò S _m .

Yêu cầu . Hãy k được kích thước của bìa tối thiểu [ m ] trong C . Khi đó kích thước của bìa tối thiểu trong S bằng ( k +1) ( m +1).

Bằng chứng phác thảo . Nếu D ⊆ C là một trang bìa của [ m ], chúng ta có thể xây dựng một trang bìa T ⊆ S kích thước (| D | +1) ( m +1) bởi T = { P _E Q ^j : E ∈ S ∪ {{ m +1}}, 0≤ j ≤ m }.

Mặt khác, hãy để T ⊆ S là một trang bìa. Lưu ý rằng tất cả các ma trận trong S ₀ là khối chéo với các khối có kích thước 2 × 2 và các ma trận khác trong S có 0 trong các khối này. Do đó, T ∩ S ₀ bao gồm các khối. Ngoài ra, T ∩ S ₀ chứa P _{{ m +1}} vì nếu không thì (2 m +1, 2 m +2) sẽ không được bảo hiểm. Quan sát rằng ( T ∩ S ₀ ) { P _{{ m +1}}} Tương ứng với một nắp đặt trong C . Do đó, | T ∩ S ₀ | ≥ k +1. Tương tự, với mọi 0≤ j ≤ m , | T ∩ S _j | ≥ k +1. Do đó, | T | ≥ ( k +1) ( m +1). Kết thúc bản phác thảo bằng chứng của Yêu cầu bồi thường .

Theo yêu cầu, mức giảm được xây dựng ở trên bảo tồn tỷ lệ gần đúng. Đặc biệt, nó thiết lập định lý.

Người giới thiệu

[DF97] Rong-Chii Duh và Martin Fürer. Xấp xỉ vỏ k -set bằng cách tối ưu hóa bán cục bộ. Trong Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề ACM hàng năm lần thứ chín mươi về lý thuyết tính toán (STOC) , trang 256 gợi264, tháng 5 năm 1997. http://dx.doi.org/10.1145/258533.258599

[Fei98] Uriel Feige. Một ngưỡng của ln n cho xấp xỉ bộ bìa. Tạp chí ACM , 45 (4): 634 Từ652, tháng 7 năm 1998. http://dx.doi.org/10.1145/285055.285059

[Joh74] David S. Johnson. Các thuật toán gần đúng cho các bài toán tổ hợp. Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống , 9 (3): 256 Từ278, tháng 12 năm 1974. http://dx.doi.org/10.1016/S0022-0000(74)80044-9

Trong bữa trưa tại Brussels, chúng tôi đã chứng minh vấn đề này là NP-Hard bằng cách giảm khá ngắn từ 3SAT. Bằng chứng của chúng tôi không dẫn đến một kết quả không thể đạt được (chưa). Chúng tôi sẽ nghĩ nhiều hơn về nó.

Roughly, bạn chuyển đổi một thể hiện 3-SAT (với n biến và mệnh đề c) thành một chuỗi các hoán vị có cấu trúc như sau:

1 ... n để đánh số n biến n + 1 được sử dụng bởi biến tiện ích n + 2, n + 3 đại diện cho mệnh đề 1 ... n + 2j, n + 2j + 1 đại diện cho mệnh đề thứ n n + 2c + 2 được sử dụng bởi người thu gom rác

biến xi được biểu diễn bằng hoán vị 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... và hoán đổi n + 2j + 1, n + 2j cho mọi mệnh đề nơi j xuất hiện xi; và hoán vị 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... và hoán đổi n + 2j + 1, n + 2j cho mọi mệnh đề trong đó j trong đó - xi xuất hiện.

Sau đó, chúng tôi sử dụng trình thu gom rác để đặt từng số vào vị trí không thể xuất hiện. Để đặt x ở vị trí y, ta đặt y ở vị trí n + 2c + 2 và n + 2c + 2 ở vị trí x. Chúng ta sẽ có chính xác n + 2c-1 bộ thu gom rác như vậy cho mỗi biến và 2 (n + 2c-1) cho mỗi mệnh đề. 3SAT là thỏa đáng nếu chúng ta có thể chọn chính xác một trong 2 hoán vị cho mỗi biến, nếu bao gồm bộ hoán vị có một giải pháp có kích thước n + (n + 2c-1) (n + 2c).

Có lẽ có một số chi tiết nhỏ bị thiếu cho các trường hợp nhỏ.

Stefan.