Là loại bỏ vuông dễ dàng hơn bao thanh toán?

Dường như với tôi rằng nhiệm vụ loại bỏ hình vuông có thể được giảm xuống thành nhiệm vụ bao thanh toán , nhưng không có cách nào để giảm bao thanh toán để loại bỏ hình vuông. Có cách nào để làm cho "cảm giác" này chính xác hơn, tức là một số giả thuyết thường được tin là sẽ bị vi phạm nếu bao thanh toán có thể được giảm xuống loại bỏ vuông? Nhưng nếu loại bỏ hình vuông thực sự sẽ dễ dàng hơn bao thanh toán (theo nghĩa phác thảo ở trên), thì câu hỏi tiếp theo là liệu đó có phải là một vấn đề trung gian NP (tức là liệu thuật toán thời gian đa thức cho nó có được biết hay không).

Dưới đây là một mô tả vụng về của các nhiệm vụ loại bỏ và bao thanh toán vuông :

Để cho $n\in\mathbb{N}^*$được đưa ra trong đại diện nhị phân. Để cho$n=\prod_i p_i^{\alpha_i}$ với $p_i$ nguyên tố, $\alpha_i\in\mathbb{N}^*$và $p_i\neq p_j$ cho $i\neq j$ là nhân tố chính của $n$.

• Để loại bỏ hình vuông, biểu diễn nhị phân của $m=\prod_i p_i$ được yêu cầu.
• Đối với bao thanh toán, việc tìm kiếm (đại diện nhị phân của) một yếu tố không tầm thường của $n$ được yêu cầu, tức là một số $q=\prod_j p_j^{\beta_j}$ với $1<q<n$, $\beta_j\in\mathbb{N}$và $\beta_j\leq\alpha_j$.

Tôi tin rằng không có thuật toán đa thức được biết đến.

Theo một bài báo, điều này được sử dụng trong ít nhất một hệ thống mật mã:

Trừu tượng. Chúng tôi đề xuất một modulo hệ thống mật mã$p^k q$dựa trên hệ thống mật mã RSA. Chúng tôi chọn một mô-đun thích hợp$p^ k q$ trong đó chống lại hai trong số các thuật toán bao thanh toán nhanh nhất, đó là sàng trường số và phương pháp đường cong elip.

Nếu bạn có thể tìm thấy $pq$ bạn sẽ phá vỡ hệ thống mật mã bằng máy tính $\frac{p^k q}{pq}=p^{k-1}$.

Câu hỏi này cho thấy không có thuật toán đa thức nào được biết để quyết định xem số nguyên có vuông không (tất cả của bạn$\alpha_i=1$).

Chúng tôi có thể chỉ ra rằng nếu tất cả $\alpha_i$ là khác nhau, sau đó loại bỏ vuông và bao thanh toán của $n$ đều khó như nhau.

Rõ ràng là nếu chúng ta có thể yếu tố $n$, chúng ta cũng có thể tính toán loại bỏ vuông $n$.

Các hướng khác là một chút khó khăn hơn. Đầu tiên tính toán loại bỏ vuông$n$ và hãy gọi nó $m$. Từ định nghĩa nó theo đó$m$ chia $n$. Chia cho$m$ lặp đi lặp lại cho đến khi chúng ta đạt đến một số không chia hết cho $m$, Tôi sẽ gọi đây $x$

Bây giờ tính toán $p = \frac{m}{\gcd(x, m)}$, nếu có nhiều hơn một thừa số nguyên tố, thì các yếu tố đó sẽ có giống hệt nhau trong sản phẩm gốc , điều này mâu thuẫn với giả định về tất cả là khác nhau, do đó là yếu tố chính trong .$p$$\alpha_i$$n$$\alpha_i$$p$$n$

Biết một yếu tố chính trong , có thể giảm vấn đề để bao thanh nhỏ hơn , thỏa mãn các tiêu chí tương tự, do đó thuật toán có thể được lặp lại.$n$$n'$

Chúng tôi cũng có thể chỉ ra rằng nếu tất cả đều bằng nhau, thì việc loại bỏ hình vuông là dễ dàng. Đó là bởi vì chỉ có thể có kích thước logarit trong và mọi có thể được kiểm tra bằng cách tính toán gốc của .$\alpha_i$$\alpha_i$$n$$\alpha_i$$\alpha_i$$n$

Tuy nhiên, kết quả thu được theo cách đó sẽ không chính xác nếu không bằng nhau. Kết quả thu được sẽ đúng nếu nó là hình vuông miễn phí. Và @joro chỉ ra rằng, không có thuật toán đa thức nào được biết để quyết định xem một số có vuông không.$\alpha_i$

Vì vậy, đối với một số loại bỏ vuông và bao thanh toán là tương đương. Đối với loại bỏ vuông là dễ dàng. Nói hai trường hợp đó có vẻ khó.$n$$n$