Đồ thị hạn chế lý thuyết đối với Chứng minh trong Lý thuyết Độ phức tạp Chứng minh

Độ phức tạp chứng minh là một lĩnh vực cơ bản nhất của lý thuyết phức tạp tính toán. Một mục đích cuối cùng của lĩnh vực này là chứng minh , nghĩa là, bất kỳ người hoạt ngôn nào cũng không thể đưa ra bằng chứng về sự không thỏa mãn của công thức đầu vào đã cho. $NP\neq coNP$

Một đồ thị là một trong những mô hình chính thức của bằng chứng. Câu hỏi của tôi là về hạn chế hơn nữa cho mô hình này.

Một bằng chứng được trình bày dưới dạng DAG. Các nút có quạt 0 có nhãn tiên đề. Nút duy nhất có fan-out 0 tương ứng với "false." Đối với các quy tắc khấu trừ đầu vào đã cho, mỗi nút có cả mức độ và mức độ đều có nhãn đại diện cho mệnh đề.

Câu hỏi của tôi là:

Có hệ thống bằng chứng và các nghiên cứu liên quan trong trường hợp lớp DAG bằng chứng bị hạn chế không? Giấy tờ, khảo sát, và ghi chú bài giảng được chào đón.

Các hệ thống Proof đã được nghiên cứu trước đây như Nullstellensatz, Độ phân giải, LS, AC0 Frege, RES (k), Đa thức Caluculus và Mặt phẳng cắt, có một số đặc điểm lý thuyết đồ thị ??

Hạn chế tự nhiên nhất đối với DAG bằng chứng là nó là một cái cây - nghĩa là, bất kỳ "bổ đề" (kết luận trung gian) không được sử dụng nhiều hơn một lần. Khách sạn này được gọi là "giống như cây". Độ phân giải chung mạnh hơn theo cấp số nhân so với độ phân giải giống như cây, như ví dụ của Ben-Sasson, Impagliazzo và Wigderson . Khái niệm này cũng đã được xem xét cho các hệ thống bằng chứng khác - chỉ cần tìm kiếm "cây giống như cây X", trong đó X là một hệ thống bằng chứng thú vị với bạn. Trong trường hợp cụ thể của giải pháp, có những hạn chế khác có thể được xem xét. Xem ví dụ một bài báo của Alekhnovich, Johannsen, Pitassi và Urquhart về giải pháp thường xuyên.

Độ phân giải giống như cây đặc biệt quan trọng vì việc triển khai DPLL truyền thống tương ứng với các phản ứng phân giải giống như cây. Kỹ thuật học mệnh đề, rất quan trọng trong thực tế, tương ứng với việc cho phép các DAG nói chung. Do đó cấu trúc của DAG bằng chứng cũng phụ thuộc rất nhiều vào thuật toán tạo ra nó.

Nghiên cứu của Müller và Szeider Chứng minh độ phân giải trong đó DAG bằng chứng đã giới hạn chiều rộng cây hoặc chiều rộng đường giới hạn (đối với phần mở rộng phù hợp của các biện pháp độ phức tạp biểu đồ này đối với biểu đồ có hướng.)

Chúng cho thấy rằng độ rộng đường dẫn của DAG về cơ bản giống như độ phức tạp không gian của bằng chứng và xác định một khái niệm tổng quát về không gian chứng minh tương đương với chiều rộng của cây.

Đối với các hệ thống chứng minh đủ mạnh, biểu diễn đồ thị của một bằng chứng trong hệ thống có vẻ ít hệ quả hơn, vì (như Joshua Grochow đã nhận xét), các bằng chứng Frege giống như cây và giống cây của DAG là tương đương về mặt đa thức (xem chuyên khảo năm 1995 của Krajicek để chứng minh thực tế này ).

Đối với các hệ thống chứng minh yếu hơn như độ phân giải, giống như cây yếu hơn theo cấp số nhân so với chứng minh giống DAG (như Yuval Filmus đã mô tả ở trên).

Beckmann và Buss [1] (theo Beckmann [2] ) đã xem xét việc giới hạn chiều cao (tương đương, độ sâu) của đồ thị bằng chứng của chứng minh Frege có độ sâu không đổi và nghiên cứu mối quan hệ giữa DAG, kích thước cây và chiều cao của độ sâu không đổi Bằng chứng tự do. (Lưu ý phân biệt giữa việc giới hạn độ sâu của đồ thị bằng chứng và hạn chế độ sâu của mạch xuất hiện trong một dòng chứng minh).

Cũng có thể có sự tách biệt giữa các bằng chứng Nullstellensatz (và phép tính đa thức) giống như cây, mà tôi hiện không nhớ.