Hệ thống bổ sung véc tơ với những trở ngại hữu hạn

Hệ thống bổ sung véc tơ (VAS) là một tập hợp hữu hạn các hành động . là tập hợp các dấu . Một chạy là một từ không có sản phẩm nào của các dấu hiệu st . Nếu một từ như vậy tồn tại, chúng tôi nói rằng có thể truy cập từ .$A \subset \mathbb{Z}^d$m 0 m 1 ... m n ∀ i ∈ { 0 , ... , n - 1 } , m i + 1 - m i ∈ A m n m $\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

Vấn đề về khả năng tiếp cận đối với VAS được biết là có thể quyết định (nhưng độ phức tạp của nó là một vấn đề mở).

Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng một tập hợp hữu hạn các dấu cấm (các chướng ngại vật ) được đưa ra. Tôi muốn biết nếu vấn đề về khả năng tiếp cận vẫn còn có thể quyết định.

Theo trực giác, tập hợp các chướng ngại vật hữu hạn chỉ can thiệp vào các đường dẫn cục bộ, do đó vấn đề vẫn có thể quyết định được. Nhưng nó không có vẻ tầm thường để chứng minh điều đó.

CHỈNH SỬA . Tôi sẽ giữ câu trả lời của @ Jérôme là câu trả lời được chấp nhận, nhưng tôi muốn thêm một câu hỏi tiếp theo: nếu tập hợp các dấu là thì sao?$\mathbb{Z}^d$

Ý tưởng này dựa trên một cuộc thảo luận tôi có với Grégoire Sutre chiều nay.

Vấn đề là quyết định như sau.

Petri net là một tập hợp hữu hạn các cặp trong được gọi là chuyển tiếp. Đưa ra một quá trình chuyển đổi , chúng tôi biểu thị bằng quan hệ nhị phân được xác định trên tập cấu hình bởi nếu tồn tại một vectơ sao cho và . Chúng tôi biểu thị bằng mối quan hệ khả năng tiếp cận một bước . Sự đóng cửa phản xạ và bắc cầu của mối quan hệ này được biểu thị bởiN d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → y → z ∈ N d → $T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$→ y = → v + → z T → ⋃ t ∈ T t → T *$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$ .

Hãy là componentwise trật tự cổ điển phần trên và xác định bởi nếu có tồn tại như đó . Việc đóng lên của một tập của là tập của vectơ . Việc đóng xuống của một tập là tập của vectơ .N d → u ≤ → x → z ∈ N$\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$→ X Nd↑ → X { → v ∈Nd|∃ → x ∈ → X$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$ → X ↓ → X { → v ∈Nd|∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Lưu ý rằng nếu đối với một số tập hữu hạn của và nếu là mạng Petri, chúng ta có thể tính toán mạng Petri mới sao cho với mọi cấu hình , chúng ta có và nếu và chỉ khi, . Trong thực tế, nếu là một quá trình chuyển đổi, thì với mỗi , hãy để trong đó là vectơ trong→ B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , → y ∈ → U → $\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$t=(→u,→v)→b∈→Bt → b =($\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$ → z Nd → z (i)=max{ → b (i)- → u (i), → b (i)- → v (i),0}1≤i≤dT → U ={t$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ được xác định theo thành phần bởi cứ sau . Lưu ý rằng thỏa mãn yêu cầu.$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

Bây giờ, giả sử rằng là mạng Petri, tập hợp chướng ngại vật. Chúng tôi giới thiệu tập hữu hạn . Quan sát rằng chúng ta có thể tính toán một cách hiệu quả một tập hợp hữu hạn của sao cho . Đặt là quan hệ nhị phân được xác định trên bởi if hoặc tồn tại sao cho→ O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x$T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$→ x ', → y '∈Nd∖ → O → x T → → x ′ T ∗ $\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

Bây giờ, chỉ cần quan sát rằng nếu tồn tại một lần chạy từ cấu hình ban đầu đến cái cuối cùng để tránh chướng ngại vật , thì sẽ tồn tại một thứ tránh chướng ngại vật trong và điều đó đi qua các cấu hình trong nhiều nhất là hồng y của tập hợp đó. Do đó, vấn đề giảm để chọn các cấu hình khác biệt không xác định trong , sửa như cấu hình ban đầu , là cấu hình cuối cùng và kiểm tra xem→ y → O → O → D ∖ → O → c 1,..., → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ cho mọi . Vấn đề cuối cùng này làm giảm các câu hỏi tiếp cận cổ điển cho lưới Petri.$j$

Tôi đã suy nghĩ về câu hỏi của bạn cho các hệ thống bổ sung véc tơ có trạng thái (VASS) tương đương với VAS và đã đưa ra giải pháp này. Bây giờ, tôi đã đọc câu trả lời hay của Jérôme và tôi phải nói rằng câu trả lời của tôi rất giống nhau, vì vậy hãy chấp nhận câu trả lời của anh ấy ngay cả khi bạn cho rằng tôi đúng.

Ý tưởng: Có thể chuyển đổi VASS thành VASS cấm các vectơ nhỏ hơn hoặc bằng các chướng ngại vật. Đây không phải là chính xác những gì chúng ta muốn, vì các vectơ nhỏ hơn nhưng không bằng các chướng ngại vật được phép đạt được. Tuy nhiên, có rất nhiều vectơ như vậy. Điều này cho phép phân rã các mức tối thiểu chạy thành nhiều lần chạy chính là chuyển tiếp của hoặc một lần chạy tương đương của . Do đó, vâng , vấn đề là quyết định.V ' V V $V$$V'$$V$$V'$

Thông tin chi tiết: Hãy là một -VASS, tức là là một hữu hạn dán nhãn đồ thị như vậy mà . Đặt là tập hợp các chướng ngại vật. Hãy để và , chúng tôi viết bất cứ khi nào là một chạy từ để với mọi cấu hình trung gian trong . Chúng tôi biểu thịd V T ⊆ Q × Z d × Q O ⊆ N d pi ∈ T * X ⊆ N d p ( u ) pi → X q ( v $V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$p ( u ) q ( v ) Q × X ↓ X = { y : y ≤ x  với một số  x ∈ X $\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Đặt là một lần chạy tối thiểu sao cho , tức là một lần chạy tối thiểu tránh những trở ngại Sau đó, theo nguyên tắc pigeonhole, có thể được coi là một lần chạy vào chỉ nhiều lần. Chính thức hơn, tồn tại , và sao chop ( u ) π → N d ∖ O q ( v $\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$↓ O ∖ O t 1 , t ' 1 ... , t n + 1 , t ' n + 1 ∈ T ∪ { ε } π 1 , ... , π n + 1 ∈ T * { p i ( u i ) , q tôi ( v i ) , r i ( w $\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Do đó, nó đủ để đoán , và các cấu hình trung gian. Kiểm tra xem có thể được thực hiện bằng cách chuyển đổi thành mới không -VASS trong đó mỗi lần chuyển tiếp được thay thế bằng một tiện ích gồm chuyển tiếpVí dụ: nếu thì các hiệu ứng chuyển tiếp được thay thế như sau:t 1 , t ' 1 , ... , t n + 1 , t ' n + 1 p ( x ) * → N d ∖ ↓ O q ( y ) V d V ' t ∈ T 4 | Ôi | + 1 O = { ( 1 , 5 ) , ( 2 , $n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$