Các ví dụ trong đó kích thước của bảng chữ cái (

Đặt là một bảng chữ cái, tức là một tập hữu hạn không trống. Chuỗi là bất kỳ chuỗi phần tử (ký tự) hữu hạn nào từ . Ví dụ: là bảng chữ cái nhị phân và là một chuỗi cho bảng chữ cái này.$\Sigma$$\Sigma$$\{0, 1\}$$0110$

Thông thường, miễn là chứa nhiều hơn 1 phần tử, số phần tử chính xác trong không thành vấn đề: tốt nhất là chúng ta kết thúc với một hằng số khác ở đâu đó. Nói cách khác, nó không thực sự quan trọng nếu chúng ta sử dụng bảng chữ cái nhị phân, số, bảng chữ cái Latinh hoặc Unicode.$\Sigma$$\Sigma$

Có ví dụ về các tình huống trong đó quan trọng là bảng chữ cái lớn như thế nào?

Lý do tôi quan tâm đến điều này là vì tôi tình cờ vấp phải một ví dụ như vậy:

Đối với bất kỳ bảng chữ cái chúng tôi xác định nhà tiên tri ngẫu nhiên là một nhà tiên tri trả về các phần tử ngẫu nhiên từ , sao cho mọi phần tử đều có cơ hội được trả về như nhau (vì vậy cơ hội cho mọi phần tử là ).$\Sigma$$O_{\Sigma}$$\Sigma$$\frac{1}{|\Sigma|}$

Đối với một số bảng chữ cái và - có thể có các kích cỡ khác nhau - hãy xem xét loại máy tiên tri có quyền truy cập vào . Chúng tôi quan tâm đến các cỗ máy tiên tri trong lớp này hoạt động giống như . Nói cách khác, chúng tôi muốn chuyển đổi một nhà tiên tri thành một nhà tiên tri bằng máy Turing. Chúng tôi sẽ gọi một máy Turing như vậy là một chương trình chuyển đổi.$\Sigma_1$$\Sigma_2$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$

Đặt và . Chuyển đổi thành một nhà tiên tri rất dễ dàng: chúng tôi truy vấn hai lần, chuyển đổi kết quả như sau: , , ,$\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2, 3 \}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$00 \rightarrow 0$$01 \rightarrow 1$$10 \rightarrow 2$$11 \rightarrow 3$ . Rõ ràng, chương trình này chạy trong thời gian .$O(1)$

Bây giờ hãy và Σ = { 0 , 1 , 2 } . Đối với hai ngôn ngữ này, tất cả các chương trình chuyển đổi chạy trong O ( ∞ ) thời gian, tức là không có các chương trình chuyển đổi từ O Σ 1 đến O Σ 2 chạy trong O ( 1 ) thời gian.$\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$$O(\infty)$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$

Điều này có thể được chứng minh bởi sự mâu thuẫn: giả sử có tồn tại một chương trình chuyển đổi từ O Σ 1 đến O Σ 2 chạy trong O ( 1 ) thời gian. Điều này có nghĩa là có một d ∈ N sao cho C thực hiện tối đa d truy vấn thành Σ 1 .$C$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$$d \in \mathbb{N}$$C$$d$$\Sigma_1$

có thể thực hiện ít hơn d truy vấn trong các đường dẫn thực hiện nhất định. Chúng ta có thể dễ dàng xây dựng chương trình chuyển đổi C ′ thực thi C , theo dõi số lần truy vấn orory được thực hiện. Gọi k là số lượng truy vấn tiên tri. C ′ sau đó thực hiện d - k các truy vấn tiên tri bổ sung, loại bỏ kết quả, trả về những gì C sẽ trả về.$C$$d$$C'$$C$$k$$C'$$d-k$$C$

Bằng cách này, có chính xác đường dẫn thực hiện cho . Chính xác trong các đường dẫn thực thi này sẽ dẫn đến trả về . Tuy nhiên, không phải là số nguyên, vì vậy chúng tôi có mâu thuẫn. Do đó, không có chương trình như vậy tồn tại.$|\Sigma_1|^d = 2^d$$C'$$\frac{1}{|\Sigma_2|} = \frac{1}{3}$$C'$$0$$\frac{2^d}{3}$

Tổng quát hơn, nếu chúng ta có bảng chữ cái và với và , thì tồn tại một chương trình chuyển đổi từ sang nếu và chỉ khi tất cả các số nguyên tố xuất hiện trong hệ số nguyên tố của cũng xuất hiện trong hệ số nguyên tố của (vì vậy số mũ của các số nguyên tố trong hệ số không quan trọng).$\Sigma_1$$\Sigma_2$$|\Sigma_1|=n$$|\Sigma_2|=k$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$n$$k$

Hậu quả của điều này là nếu chúng ta có một trình tạo số ngẫu nhiên tạo ra một chuỗi nhị phân có độ dài , chúng ta không thể sử dụng trình tạo số ngẫu nhiên đó để tạo một số trong với xác suất chính xác bằng nhau.$l$$\{0, 1, 2\}$

Tôi nghĩ ra vấn đề trên khi đứng trong siêu thị, suy nghĩ xem nên ăn gì cho bữa tối. Tôi tự hỏi liệu tôi có thể sử dụng tung đồng xu để quyết định giữa lựa chọn A, B và C. Hóa ra, điều đó là không thể.

Có một số ví dụ trong lý thuyết ngôn ngữ chính thức trong đó bảng chữ cái 2 ký tự và 3 ký tự cho các hành vi khác nhau về chất. Kozen đưa ra ví dụ hay sau đây (diễn giải):

Hãy bảng chữ cái được = {1, .., k} với thứ tự số tiêu chuẩn, và xác định loại (x) là hoán vị của từ x, trong đó các chữ cái của x xuất hiện theo thứ tự sắp xếp. Mở rộng sắp xếp (A) = {sort (x) | x ∈ A} và xem xét yêu cầu sau:$\Sigma$$\in$

Nếu A không có ngữ cảnh thì sắp xếp (A) không có ngữ cảnh.

Khiếu nại này đúng với k = 2, nhưng sai với k 3.$\ge$

Bằng chứng của Dinur về định lý PCP phụ thuộc rất nhiều vào việc thao túng kích thước bảng chữ cái.

Cụ thể, cấu trúc tổng thể của bằng chứng là một ứng dụng lặp lại của kỹ thuật cung cấp năng lượng đồ thị một logarit trong số lần kích thước biểu đồ. Trên mỗi lần lặp lại, biểu đồ được xử lý trước thành biểu đồ mở rộng thông thường, được khuếch đại bởi một công suất (làm tăng kích thước bảng chữ cái) và sau đó áp dụng một chế phẩm PCP (biến mỗi ràng buộc trên một bảng chữ cái lớn thành một hệ thống ràng buộc một bảng chữ cái nhỏ).

Mục tiêu ngầm của quy trình là tìm cách sử dụng lại bước khuếch đại cho đến khi giá trị UNSAT trở thành một phần không đổi (chứng minh định lý PCP). Điểm mấu chốt là trừ khi kích thước bảng chữ cái được kéo lại mỗi lần, biểu đồ kết quả không phải là thứ cần thiết cho việc giảm cuối cùng.

$O(1)$$\{0,1,2\}$

$\{0,1,2\}$$\{0,1\}$$O(1)$ bởi Dodis, Patrascu và Thorup về nó, và các tài liệu tham khảo trong đó, nên là một điểm tốt để bắt đầu.

Trong các mã sửa lỗi, có thể có một sự khác biệt cơ bản giữa mã nhị phân và mã so với các bảng chữ cái lớn hơn trong đó các ví dụ Gilbert Varshamov cho các mã sửa một phần lỗi (về cơ bản là các ví dụ tham lam hoặc ngẫu nhiên) được một số người tin là được chặt chẽ trong trường hợp nhị phân và được biết là không chặt chẽ trong một bảng chữ cái lớn thông qua các mã hình học đại số. Điều này khiến một số người suy đoán rằng định nghĩa chuẩn về mã sửa lỗi cho bảng chữ cái lớn không phải là mã tương tự đúng của mã sửa lỗi nhị phân.

$\ge 3$

Kết quả có phần kỹ thuật, nhưng nếu bạn quan tâm, bạn có thể đối chiếu Bổ đề 8 với Phần 4.1 để biết các tuyên bố định lý có liên quan.