So sánh độ phức tạp của lý thuyết Kolmogorov

Định lý không hoàn chỉnh của Chaitin nói rằng không có lý thuyết số học nào đủ mạnh có thể chứng minh trong đó là độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi và là hằng số đủ lớn. là đủ lớn nếu nó lớn hơn kích thước theo bit của một máy kiểm tra bằng chứng (PCM). Một PCM cho lý thuyết T mất một chuỗi mã hóa như một số nguyên như là đầu vào và đầu ra là 1 nếu chuỗi là một bằng chứng hợp lệ trong ngôn ngữ của T .$K(s) > L$$K(s)$$s$$L$$L$$T$$T$

Giả sử rằng $L(T) > |PCM_T|$cho lý thuyết $T$ là một trên ràng buộc cho sự phức tạp của $T$ . Xem xét hệ thống phân cấp các lý thuyết sau: Đặt lý thuyết cơ sở là số học Robinson ( $Q$ ). Augment $Q$ với các tiên đề ngày càng mạnh hơn của cảm ứng giới hạn đa thức. Hãy $Q^*$ là lý thuyết về định lý chứng minh với $Q$ và bất kỳ những tiên đề cảm ứng bị chặn. Giả sử chúng ta có thể xác định $L(Q)$ và $L({Q^*})$ bằng cách xác định PCM cho mỗi lý thuyết.

Tôi muốn xem xét một máy tăng cường bằng chứng kiểm tra (EPCM) cho $Q^*$ . EPCM này có một chuỗi như là đầu vào giống như một ECM và có một đầu vào thứ hai trong đó xác định cấp bậc và trình độ của một tiểu thuyết $Q^*$ . Nếu chuỗi đầu vào là một bằng chứng hợp lệ trong $Q^*$ các EPCM sau đó đi qua các bước của bằng chứng để xác định thứ hạng cao nhất và mức độ cảm ứng sử dụng. EPCM này sau đó viết một 1 nếu câu đầu vào là một bằng chứng có giá trị trong các quy định tiểu thuyết $Q^*$ .

Là kiểm tra bằng chứng nâng cao tôi mô tả khả thi? Nếu vậy, sẽ kích thước của EPCM này là một trên ràng buộc không chỉ cho sự phức tạp của $Q^*$ , mà còn là một thượng bị ràng buộc vào sự phức tạp của bất kỳ tiểu thuyết $Q^*$ ?

Là nó hợp lý để nói rằng có một hằng số trên ràng buộc vào sự phức tạp của $Q^*$ và tất cả các tiểu thuyết của nó?

---

Câu hỏi này đã được đưa ra bởi bằng chứng thất bại của Nelson về sự không nhất quán của số học. Tôi đã không chỉ ra điều này sớm hơn bởi vì một số người thấy rằng bằng chứng đó đáng lo ngại. Động lực của tôi là hỏi một câu hỏi thú vị. CSTheory dường như là diễn đàn phù hợp cho câu hỏi này. Sự phức tạp của $Q^*$ và tất cả các tiểu thuyết của nó là một trong hai bao bọc bởi một hằng số hoặc vô biên. Hoặc là câu trả lời dẫn đến nhiều câu hỏi hơn.

Nếu mức độ phức tạp của tiểu thuyết là vô biên chúng ta có thể đặt câu hỏi như các yếu nhất tiểu thuyết là những gì $Q^*$ phức tạp hơn $Q^*$ ? Hoặc phức tạp hơn PA và ZFC? Suy nghĩ về câu hỏi này đã cho tôi thấy có một giới hạn nghiêm trọng về mức độ một lý thuyết có thể chứng minh về độ phức tạp của chuỗi Kolmogorov. Nếu $Q^*$ là phù hợp không thì các tiểu thuyết của nó có thể chứng minh $K(s) > L(Q^*)$ đối với bất kỳ chuỗi. Điều này có nghĩa là các lý thuyết phụ thực sự mạnh mẽ thậm chí không thể chứng minh có nhiều chuỗi phức tạp hơn một số lý thuyết phụ yếu hơn nhiều trong đó lý thuyết yếu hơn phức tạp hơn $Q^*$ .

Tôi sẽ thử và đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này, và cố gắng làm sáng tỏ một số nhầm lẫn về hình thức chính xác của câu hỏi.

Điểm đầu tiên tôi muốn làm: các trong báo cáo kết quả thường xuyên Chaitin của thực sự là một chức năng của T . Trong tuyệt đối nghĩa nào đó, nó là đơn điệu trong biểu cảm của T : nếu L ( T ) là nhỏ nhất số tự nhiên mà T ⊬ K ( s ) ≥ L ( T ) đối với bất kỳ chuỗi s , sau đó nếu T ' là một lý thuyết thống nhất mạnh hơn T ( T ⊢ φ ngụ ý T $L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$ đối với bất kỳ câu số học φ ) sau đó L ( T ' ) ≥ L ( T ) . Lý lẽ rất đơn giản: nếu có tồn tại là như vậy mà T ⊢ K ( s ) ≥ L sau đó T ' ⊢ K ( s ) ≥ L bằng giả thuyết.$T'\vdash\varphi$$\varphi$$L(T')\geq L(T)$$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

Tuy nhiên, điều này chỉ đúng nếu là hằng số Chaitin tuyệt đối . Đặc biệt, nếu T ' chứng minh C o n ( T ) , sau đó T ' ⊢ ∃ L ∀ s ⌈ T ⊬ K ( ¯ s ) ≥ ¯ L$L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

bằng cách tiếp thu lập luận của Chaitin. Tuy nhiên , một l cụ thể mà$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

$L(T)$$\mathrm{Con}(T)$$T'$$T$

$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

$L(T)$$Q^*$$Q^*$