Nếu P = NP là đúng, máy tính lượng tử có hữu ích không?

29

Giả sử P = NP là đúng. Sau đó, sẽ có bất kỳ ứng dụng thực tế nào để xây dựng một máy tính lượng tử như giải quyết các vấn đề nhất định nhanh hơn hay bất kỳ cải tiến nào như vậy không liên quan dựa trên thực tế rằng P = NP là đúng? Làm thế nào bạn mô tả sự cải thiện hiệu quả sẽ xảy ra nếu một máy tính lượng tử có thể được xây dựng trong một thế giới nơi P = NP, trái ngược với một thế giới trong đó P! = NP?

Đây là một ví dụ về những gì tôi đang tìm kiếm:

Nếu P! = NP, chúng ta thấy rằng lớp phức tạp ABC bằng với lớp phức tạp lượng tử XYZ ... nhưng nếu P = NP, lớp ABC sẽ sụp đổ với lớp UVW có liên quan.

(Động lực: Tôi tò mò về điều này, và tương đối mới đối với điện toán lượng tử; vui lòng chuyển câu hỏi này nếu nó không đủ tiến bộ.)

cc.complexity-theory complexity-classes quantum-computing

— Philip White
nguồn

9

Chúng tôi không biết liệu

ngụ ý

, do đó có thể có một số vấn đề trong

không có trong

ngay cả khi

.... Thậm chí đó còn là một câu hỏi mở hoặc không

có ở

....

P = N P

${P}={NP}$

B Q P = P

${BQP}={P}$

B Q P

${BQP}$

P

${P}$

P = N P

${P}={NP}$

B Q P

${BQP}$

P H

${PH}$

— Tayfun Trả tiền

4

Về cơ bản hơn, lớp

nắm bắt các thuật toán lượng tử "hiệu quả" (thời gian đa thức lượng tử có lỗi). Đó là lý do tại sao Tayfun chính thức hóa câu hỏi của bạn là câu hỏi tự nhiên, ví dụ: nếu

, có vấn đề nào không xảy ra ở

, nhưng trong

? Và rõ ràng nó phù hợp với kiến thức hiện tại của chúng tôi rằng điều này xảy ra.

B Q P

$BQP$

P = N P

$P=NP$

P

$P$

B Q P

$BQP$

— usul

30

Bài viết " BQP và hệ thống phân cấp đa thức " của Scott Aaronson trực tiếp giải quyết câu hỏi của bạn. Nếu P = NP, thì PH sẽ sụp đổ. Nếu hơn nữa BQP ở PH, thì không thể tăng tốc lượng tử trong trường hợp đó. Mặt khác, Aaronson đưa ra bằng chứng cho một vấn đề với việc tăng tốc lượng tử ngoài PH, do đó, việc tăng tốc như vậy sẽ sống sót sau sự sụp đổ của PH.

— Martin Schwarz
nguồn

10

Thật ra chính Aaronson đã chứng minh rằng phỏng đoán mà ông dựa trên tác phẩm này là sai. Xem scottaaronson.com/ con / glnfalse.pdf

— Alex Grilo

5

@AlexGrilo Một số kết quả trong bài báo là vô điều kiện và vẫn đứng vững: có một sự tách biệt giữa các phiên bản quan hệ của BQP và PH.

— Sasho Nikolov

8

Một sự làm rõ: trong khi "Giả thuyết Linial-Nisan tổng quát" hóa ra là sai, thì phỏng đoán rằng vấn đề Fourier Checking / "Forrelation" không tồn tại ở PH. Chỉ là một số cách tiếp cận khác sẽ cần thiết để chứng minh điều đó. Ngoài ra, tôi có thể củng cố kết quả của mình rằng tồn tại một lời tiên tri liên quan đến vấn đề quan hệ BQP không có trong BPP ^ PH, để cho thấy rằng có tồn tại một lời tiên tri liên quan đến P = NP, nhưng vẫn có những vấn đề liên quan đến BQP không có trong BPP . Đó là một phần mở rộng đơn giản, nhưng tiếc là tôi chưa viết nó lên.

— Scott Aaronson

9

Câu trả lời là không rõ ràng có. Máy tính lượng tử chắc chắn vẫn sẽ hữu ích.

Máy tính lượng tử không phải là tiên tri cho BQP, mà là các thiết bị xử lý trạng thái lượng tử và có thể giao tiếp bằng trạng thái lượng tử. Giống như khả năng thực hiện các truy vấn không xác định về cơ bản mạnh hơn khả năng thực hiện các truy vấn hoàn toàn xác định, không phụ thuộc vào trạng thái của P vs NP (và thực sự đây là gốc của các phân tách tiên tri), khả năng thực hiện truy vấn lượng tử và để giao tiếp bằng cách sử dụng các trạng thái lượng tử về cơ bản mạnh hơn so với đối tác thuần túy cổ điển.

Điều này dẫn đến lợi thế trong một loạt các ứng dụng

Khả năng truy vấn các nhà tiên tri hoặc cơ sở dữ liệu bên ngoài trong sự chồng chất cung cấp một sự tách biệt có thể chứng minh được giữa máy tính lượng tử và máy tính cổ điển về độ phức tạp của truy vấn.
Có nhiều nhiệm vụ truyền thông khác nhau giúp giảm đáng kể chi phí truyền thông mà truyền thông lượng tử được sử dụng.
Xử lý thông tin lượng tử cho phép các giao thức bảo mật thông tin về mặt lý thuyết cho một phạm vi vấn đề rộng hơn so với khả năng kinh điển. Chắc chắn QKD không yêu cầu một máy tính lượng tử phổ quát được thực hiện, nhưng nhiều giao thức cho các nhiệm vụ khác làm.
Trước và sau xử lý các trạng thái lượng tử vướng víu lớn cho phép bạn vi phạm giới hạn nhiễu bắn trong đo lường, dẫn đến các phép đo chính xác hơn.

Ngoài các đối số phức tạp, có một lý do thực tế khác để muốn máy tính lượng tử. Phần lớn dữ liệu được xử lý trên các máy tính cổ điển ngày nay bắt nguồn từ việc cảm nhận thế giới tự nhiên (ví dụ thông qua CCD trong máy ảnh kỹ thuật số). Tuy nhiên, các phép đo như vậy nhất thiết phải loại bỏ một số thông tin về hệ thống để hiển thị kết quả đo dưới dạng chuỗi bit cổ điển (ví dụ như thu gọn các chồng chất không gian của photon) và không phải lúc nào cũng rõ ràng thông tin nào sẽ được coi là quan trọng nhất khi ban đầu ghi dữ liệu. Do đó, thật hợp lý khi tin rằng khả năng lưu trữ và xử lý trực tiếp các trạng thái lượng tử, thay vì sụp đổ chúng trong một số cơ sở trước khi xử lý sẽ ngày càng được mong muốn.

— Joe Fitzsimons
nguồn

4

Giải quyết phần thực hành.

$P=NP$ $O(n^{2^{10^3}})$ thì điều này sẽ không được quan tâm thực tế trên phần cứng hiện tại.

$O(n^{10^{10000}})$ (với hằng số ngụ ý là lớn hơn số Skewes)."

Theo như tôi có thể nói máy tính lượng tử đủ mạnh sẽ được quan tâm thực tế trong trường hợp này.

— joro
nguồn

n^{2^{10^{3}}}

$n^{2^{10^3}}$

@SashoNikolov Tôi đã giải quyết thực tế . Máy tính lượng tử có các số nguyên 2048 bit một cách hiệu quả sẽ được tôi quan tâm thực tế ngay bây giờ vì các khóa RSA;).

— joro

Tôi tin rằng người ta có thể có được thuật toán sắp xếp thời gian tuyến tính với máy tính lượng tử.

— Rồng con

2

Có những nghiên cứu về mối quan hệ giữa BQP và hierachy PH đa thức. Chẳng hạn, có một vấn đề liên quan đến BQP không có trong PH ( http://arxiv.org/abs/0910.4698 ) và một phỏng đoán chứng minh kết quả tương tự trong một thế giới không liên quan ( http://arxiv.org /abs/1007.0305 ). Xem thêm vấn đề của BosonSampling, đó là lấy mẫu từ kết quả xác suất của các photon đi ra từ mạng bộ tách chùm, được cho là khó về mặt kinh điển trong khi có thể được thực hiện bởi một hệ thống lượng tử khá đơn giản, thậm chí không phải là máy tính lượng tử phổ quát (nhìn cho bài báo Aaronson, Arkhipov - Độ phức tạp tính toán của Quang học tuyến tính). Một gợi ý khác là điện toán lượng tử cứng hơn PH: thực sự, nếu một máy tính cổ điển có thể giải quyết hiệu quả BosonSampling bằng một lời tiên tri cho vấn đề PH, thì $P^{\# P}\subseteq BPP^{PH}$ mà bao hàm hệ thống cấp bậc đa thức sẽ sụp đổ.

Tóm lại, chúng ta không biết sức mạnh chính xác của máy tính lượng tử là gì nhưng có kết quả cho thấy BQP có thể nằm ngoài PH.

— tân sinh
nguồn