Nhân ma trận lượng tử?

Có vẻ như điều này không được biết đến - nhưng có giới hạn nào thú vị hơn về sự phức tạp của phép nhân ma trận trong mô hình điện toán lượng tử không? Chúng ta có bất kỳ trực giác nào mà chúng ta có thể đánh bại sự phức tạp của thuật toán Coppersmith-Winograd bằng máy tính lượng tử không?

reference-request quantum-computing matrix-product

— Henry Yuen
nguồn

Câu trả lời:

Trong arXiv: quant-ph / 0409035v2 Buhrman và Spalek trình bày một thuật toán lượng tử đánh bại thuật toán Coppersmith-Winograd trong trường hợp ma trận đầu ra có ít mục nhập khác.

Cập nhật: Ngoài ra còn có một thuật toán lượng tử được cải thiện đôi chút bởi Dörn và Thierauf .

Cập nhật: Có một thuật toán lượng tử cải tiến bằng cách Le Gall đánh bại Burhman và Spalek nói chung.

— Martin Schwarz
nguồn

Điều này là mới đối với tôi (tôi biết rất ít về kết quả lượng tử), nhưng liếc nhìn vào bài báo, kết quả thậm chí còn đáng ngạc nhiên hơn! Nếu, với phép nhân ma trận, có các mục nhập khác trong đầu ra, sản phẩm có thể được tính theo thời gian bậc hai , .

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon

Có một sự cải thiện nhỏ cho trường hợp đặc biệt của sản phẩm ma trận Boolean, tối thiểu { } khi có nonzeroes trong đầu ra. (Nó xuất hiện trong bài báo FOCS'10 của chúng tôi `` Tương đương cận lâm sàng giữa các vấn đề về đường đi, ma trận và tam giác ''.)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

Một cải tiến gần đây cho trong trường hợp sản phẩm ma trận Boolean là arxiv.org/abs/1112.5855 , cũng phù hợp với giới hạn dưới.

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— Abel Molina

Nếu bạn quan tâm đến việc nhân hai ma trận và lấy lại kết quả cổ điển đầy đủ, thì câu trả lời của Martin có lẽ là một câu trả lời dứt khoát cho câu hỏi của bạn. Tuy nhiên, nếu bạn muốn tính toán một cái gì đó như thì bạn có thể làm điều này cực kỳ hiệu quả. Harrow, Hassidim và Lloyd có một thuật toán ( arXiv: 0811.3171 ) để tính , chỉ tính logarit trong các kích thước của ma trận cho ma trận thưa thớt. Có vẻ tương đối thẳng về phía trước để thích ứng phương pháp này để tính toán các sản phẩm hơn là đảo ngược. $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Joe Fitzsimons
nguồn

Trong trường hợp này, thời gian chạy vẫn sẽ phụ thuộc vào số điều kiện của ma trận và ma trận sẽ phải có các mục phức tạp. Ngoài ra, nếu X và Y thưa thớt, thì sản phẩm của họ cũng vậy và có thể được ước tính một cách cổ điển với cùng một kiểu tăng tốc theo cấp số nhân bằng cách sử dụng lấy mẫu ngẫu nhiên.

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— Aram Harrow

@Aram: Điểm tốt! Tôi biết thuật toán của bạn hoạt động cho các ma trận thưa thớt, nhưng tôi có ấn tượng rằng nó có thể được thực hiện để làm việc cho các ma trận không thưa thớt nhất định. Điều này có đúng không?

— Joe Fitzsimons

Vâng, nó hoạt động cho các ma trận không thưa thớt bất cứ khi nào chúng ta biết các cách tốt để mô phỏng những người Hamilton đó. Vì vậy, có thể một cái gì đó không cần thiết là có thể ở đây.

— Aram Harrow

@Aram: Với mã hóa bạn sử dụng, chúng ta cũng không nhận được biến đổi Fourier của tất cả các ma trận thưa thớt qua QFT?

— Joe Fitzsimons

@Joe: Tôi chỉ nhận thấy điều này. Vâng, những ma trận (mà bạn có thể nghĩ là thưa thớt trong cơ sở động lượng) cũng có thể sử dụng được. Điều này không có gì độc đáo đối với thuật toán của chúng tôi. Thay vào đó là một tuyên bố về lớp người Hamilton mà chúng ta biết cách mô phỏng trên máy tính lượng tử.

— Aram Harrow