Thuật toán song song xác định cho kết hợp hoàn hảo trong đồ thị chung?

Trong lớp phức tạp , có một số vấn đề được phỏng đoán KHÔNG có trong lớp , tức là các vấn đề với thuật toán song song xác định. Vấn đề lưu lượng tối đa là một ví dụ. Và có những vấn đề được TIN TƯỞNG trong , nhưng chưa tìm thấy bằng chứng.N C N $\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

Kết hợp hoàn hảo vấn đề là một trong những vấn đề cơ bản nhất được nêu ra trong lý thuyết đồ thị: cho một đồ thị , chúng ta phải tìm một kết hợp hoàn hảo cho . Như tôi có thể tìm thấy trên internet, mặc dù thuật toán Blossom đa thời đẹp của Edmonds và thuật toán song song RANDOMIZED của Karp, Upfal và Wigderson vào năm 1986, chỉ có một vài lớp đồ thị được biết là có thuật toán .$G$$G$$\mathsf{NC}$

Vào tháng 1 năm 2005, có một bài đăng trên blog Tính phức tạp tính toán tuyên bố rằng nó vẫn mở cho dù Kết hợp hoàn hảo có trong . Câu hỏi của tôi là:$\mathsf{NC}$

Có bất kỳ tiến triển nào kể từ đó, ngoài thuật toán ngẫu nhiên không?$\mathsf{NC}$

Để làm rõ mối quan tâm của tôi, bất kỳ thuật toán nào liên quan đến đồ thị CHUNG đều tốt. Mặc dù các thuật toán cho các lớp con của đồ thị cũng ổn, nhưng điều đó có thể không theo sự chú ý của tôi. Cảm ơn tất cả!

EDIT lúc 27/12:

Cảm ơn tất cả sự giúp đỡ của bạn, tôi cố gắng tóm tắt tất cả các kết quả trong một hình:

Các lớp được biết đến thấp nhất chứa các vấn đề sau:

• trong các biểu đồ chung: [ KUW86 ], [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• đồ thị hai mặt phẳng / chi không đổi: / [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]S P $\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• khi tổng số là đa thức: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• Kết hợp tối đa đầu tiên của Lex: [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

Hơn nữa, theo giả định độ phức tạp hợp lý: yêu cầu các mạch theo cấp số nhân, Kết hợp trong các biểu đồ chung nằm trong [ ARZ98 ].S P $\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

$NC$ thuật toán cho kết hợp hoàn hảo trong đồ thị chung vẫn còn mở nhưng đã có một số tiến bộ. Dưới đây là một vài điều mà tôi biết:

Đối với các biểu đồ tổng quát, Agrawal-Hoang-Thierauf đã chỉ ra rằng với lời hứa rằng số lượng khớp hoàn hảo là nhỏ, có một thuật toán để liệt kê tất cả chúng.$NC^2$

Đối với lớp đồ thị phẳng, pfaffian đóng một vai trò lớn. Kastelyn đã chỉ ra làm thế nào mọi đồ thị phẳng có thể được định hướng theo cách sao cho pfaffian chính xác bằng số lượng khớp hoàn hảo. (Điều này được Valiant sử dụng để đưa ra " thuật toán ba chiều " cho các vấn đề khác nhau) Mahajan-Subramanya-Vinay đã chỉ ra cách pfaffian có thể được tính toán trong bằng cách sử dụng các sửa đổi của chuỗi clow. (Trên thực tế, Kastelyn đưa ra một thuật toán để tìm ra sự nhúng trong nhưng tôi không chắc liệu việc nhúng pfaffian cũng có thể được tính toán trong , nếu có, điều đó có nghĩa là việc đếm các kết hợp hoàn hảo trong đồ thị phẳng là ở .)P N C N $NC$$P$$NC$$NC$

Và một kết quả gần đây của Vinodframran-Tewari cho thấy bổ đề cô lập có thể bị "khử" đối với các đồ thị phẳng (sử dụng định lý Green!) Để đặt khả năng tiếp cận phẳng trong . Nhưng các thuật toán cho các trận đấu phẳng vẫn còn mở (cảm ơn Raghunath vì đã sửa lỗi cho rằng tôi đang ở trong ). Một thuật toán cho các trận đấu hai mặt phẳng được đưa ra bởi Datta-Kulkarni-RoyN C U L N $UL$$NC$$UL$$NC$

Hi vọng điêu nay co ich.

Một vài năm sau :) và Kết hợp hoàn hảo hiện được biết là ở Quasi-NC (nghĩa là bạn cần nhiều bộ xử lý đa phương). Xem bài viết của Fenner, Gurjar và Thierauf (đối với biểu đồ lưỡng cực) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf và công việc của chúng tôi với Ola Svensson (đối với biểu đồ chung): https://arxiv.org/pdf/1704.01929

Tewari-Vinodframran không thể tạo ra sự tách biệt của bổ đề cô lập không phù hợp với giới hạn trên của mặt phẳng. Trong thực tế, tôi thậm chí không nghĩ rằng một thuật toán NC không được biết đến cho khớp phẳng. Nhưng trong một công trình gần đây với Datta, Kulkarni và Nimbhorkar, chúng tôi cho thấy một giới hạn trên của UL đối với mặt phẳng lưỡng cực (việc viết kết quả này vẫn đang được tiến hành). Điều này rất thú vị bởi vì trước đó, ngay cả một ràng buộc NL cũng không được biết đến cho vấn đề này.

Khi một vấn đề tối ưu hóa được biết là khó khăn, thông thường sẽ xem xét các phiên bản tối đa của chúng. Ví dụ, trong khi tập độc lập là NP-Complete, tập độc lập tối đa đầu tiên của lex, là P-Complete.

$\sqrt n$

Tất cả những điểm này nói rằng có thể không có phiên bản NC song song dễ dàng cho việc này. Nhưng rồi ai biết? Ai đó có thể biến thành phiên bản RNC vào tuần tới!

Chỉnh sửa: Cảm ơn Ramprasad. Nhưng đây là một liên kết khác đến bài báo.

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer, AV Goldberg, DJ Haglin và S. Plotkin. Kết hợp gần đúng song song. Thông tin. Proc. Lett., 46 (3): 115, 1993