Gaussian độc lập theo cặp

Với (Gaussian iid với trung bình 0 và phương sai 1 ), là nó có thể (như thế nào?) Để mẫu (đối với m = k 2 ) Y 1 , ... , Y m mà Y i 's là cặp gaussian độc lập với trung bình 0 và phương sai 1 .$X_1,\ldots,X_k$$0$$1$$m=k^2$$Y_1, \ldots, Y_m$$Y_i$$0$$1$

Bài đăng trên MathOverflow cho biết cách chuyển từ một số lượng nhỏ các biến ngẫu nhiên độc lập [0,1] sang một số lượng lớn hơn các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp [0,1]. Tất nhiên, bạn có thể quay lại giữa Đồng phục [0,1] và Gaussian bằng cách đảo ngược CDF. Nhưng điều đó đòi hỏi phân tích bằng số vì CDF không phải là dạng đóng.

Tuy nhiên, có một cách đơn giản hơn để chuyển từ Gaussian sang thống nhất. Cho hai Gaussian độc lập , arctan góc ( X 1 / X 2 ) là đồng nhất trong phạm vi [ 0 , 2 π ] .$X_1, X_2$$\arctan(X_1/X_2)$$[0,2 \pi]$

Tương tự, phương thức Box-Muller biến đổi hai biến thống nhất [0,1] thành hai biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập.

Sử dụng hai phép biến đổi này, bạn tiêu thụ hai Gaussian để tạo ra một đồng phục hoặc hai đồng phục để tạo ra một Gaussian. Vì vậy, chỉ có một yếu tố trong hiệu quả lấy mẫu. Hơn nữa, không yêu cầu đảo ngược cdf bình thường.$O(1)$

Cấu trúc này KHÔNG cung cấp các biến độc lập theo cặp (thực sự, bên dưới) như yêu cầu của Anindya, nhưng nó mang lại biến cặp không tương quan đó là đủ để có được giới hạn tập trung tốt cho tổng qua Sự bất bình đẳng của Ch Quashev (và điều này nhiều lần là mục tiêu cuối cùng).$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

Đối với mỗi cặp riêng biệt , choYi,j=| Xi| ⋅σ(XiXj), nơiσ(⋅)là hàm dấu. Rõ ràng là mỗiYi,jlà một biến chuẩn với trung bình 0 và phương sai 1. Để thấy rằng họ là trực giao, cho(i,j)≠(i',j'), lưu ý rằngE[Yi$(i,j) \in {[k] \choose 2}$$Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$$\sigma(\cdot)$$Y_{i,j}$$(i,j) \neq (i',j')$ có thể dễ dàng kiểm tra để bằng 0 bằng cách nhìn vào các trường hợp khác nhau của bất bình đẳng có thể có giữai, i ' ,j, j ' .

PS: Một phiên bản trước tuyên bố độc lập theo cặp.