Hậu quả tính toán của định lý Điểm cố định trên của Friedman (không thể chứng minh)?

Harvey Friedman đã chỉ ra rằng có một kết quả điểm cố định gọn gàng không thể chứng minh được trong ZFC (lý thuyết tập hợp Zermelo-Frankel thông thường với Tiên đề lựa chọn). Nhiều logic hiện đại được xây dựng trên các toán tử điểm cố định, vì vậy tôi đã tự hỏi: có bất kỳ hậu quả nào được biết đến của định lý Điểm cố định trên Shift đối với khoa học máy tính lý thuyết không?

Không thể chứng minh Upper phím Shift Cố định điểm lý
Đối với tất cả , một số chứa . $R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ $A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$ $\text{us}(A)$

Định lý USFP dường như là một tuyên bố , do đó, nó có thể "đủ gần" với khả năng tính toán (như kiểm tra tính không đẳng cấu của các cấu trúc tự động), để tác động đến khoa học máy tính lý thuyết. $\Pi^1_1$

Để đầy đủ, đây là các định nghĩa từ buổi nói chuyện MIT của Friedman từ tháng 11 năm 2009 (xem thêm cuốn sách dự thảo về "Lý thuyết quan hệ Boolean" ).

là tập hợp các số hữu tỷ. làthứ tự tương đươngnếu bất cứ khi nào thì . Khi thì sựdịch chuyển trêncủa , ký hiệu là , có được bằng cách thêm 1 vào mọi tọa độ không âm của . Một mối quan hệ $Q$ $x, y \in Q^k$ $1 \le i,j \le k$ $x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$ $x \in Q^k$ $x$ $\text{us}(x)$ $x$ làtrật tự bất biếnnếu cho mỗi đơn hàng~~bất biến~~tương đương nó cho rằng . Một mối quan hệ là bất biến thứ tự nếu là bất biến thứ tự dưới dạng tập con của và bị chiphối nghiêm ngặtnếu với mọi bất cứ khi nào $A \subseteq Q^k$ $x,y \in Q^k$ $x \in A \Leftrightarrow y \in A$ $R \subseteq Q^k \times Q^k$ $R$ $Q^{2k}$ $x,y \in Q^k$ $R(x,y)$ $\max(x) \lt \max(y)$ $A$ $Q^k$ $R[A]$ $\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$ $A$ $\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$ $\text{cube}(A,0)$ $B^k$ $0 \in B$ $A$ $B^k$ $\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ $R \subseteq Q^k \times Q^k$

Chỉnh sửa: Như Dömötor Pálvölgyi chỉ ra trong các bình luận, lấy và là thứ tự thông thường trên các số hữu tỷ dường như mang lại một ví dụ mẫu. Đầu tiên, tập không thể để trống, vì sau đó cũng trống và sau đó sẽ phải chứa 0 bởi điều kiện khối, một mâu thuẫn. Nếu tập hợp không trống có một giá trị vô hạn thì nó không thể chứa bất kỳ số hữu tỷ nào lớn hơn giá trị này, vì vậy nó phải là một số đơn, mâu thuẫn với điều kiện dịch chuyển trên. Nếu mặt khác không có vô hạn thì vì vậy phải trống, một mâu thuẫn. $k=1$ $R$ $A$ $R[A]$ $A$ $A$ $A$ $R[A] = Q$ $A$ ~~Bất kỳ ý kiến về việc có bất kỳ vấn đề xác định không rõ ràng ẩn, chẳng hạn như có thể là một mô hình phi tiêu chuẩn ngầm của các lý do?~~

Chỉnh sửa thêm: Đối số ở trên gần đúng, nhưng sai trong ứng dụng của ca trên. Toán tử này chỉ áp dụng cho các tọa độ không âm , do đó, đặt thành bất kỳ tập đơn âm nào mang lại một điểm cố định, như mong muốn. Nói cách khác, nếu thì là một giải pháp và không có giải pháp nào khác. $A$ $m < 0$ $A = \{m\}$

computability lo.logic

— Salamás Salamon
nguồn

Ai đó có thể vui lòng giải thích cho tôi tuyên bố chi tiết hơn? Ví dụ. nếu k = 1 và R là x <y thì A sẽ là gì?

— domotorp

R là SDOI. Nếu A không có cực đại thì R [A] sẽ là Q và A trống. Vì vậy, hãy để m là cực đại của A. Khi đó R [A] sẽ bao gồm tất cả các tỷ lệ hợp lý trên m. Do đó A phải loại trừ tất cả các số hữu tỷ trên m, do đó phải chính xác là tập đơn có chứa m. Tuy nhiên, chúng tôi (A) sau đó phải chứa m + 1, mâu thuẫn. Vì vậy, trường hợp nhất quán duy nhất là A trống.

— András Salamon

Tôi đã suy nghĩ theo cùng một dòng, nhưng tôi cảm thấy một chút lừa dối. Tại sao khối lập phương (A, 0) không chứa 0? Có lẽ tôi không hiểu định nghĩa của một cái gì đó. Nếu tập hợp trống hoạt động trong trường hợp này, tại sao nó không hoạt động cho tất cả R?

— domotorp

Bạn có một điểm tốt, đã thêm một ghi chú và sẽ cần phải làm thêm một số đào.

— András Salamon

@domotorp: Giải quyết bí ẩn: kiểm tra lại định nghĩa của chúng tôi (x).

— András Salamon

Tôi không biết bất kỳ hậu quả nào của định lý cụ thể này, nhưng bằng chứng chuẩn hóa của lambda tính toán như phép tính của các cấu trúc quy nạp dựa trên các tiên đề lớn của tim - mặc dù tập hợp các thuật ngữ lambda có thể đếm được như bạn muốn.

Tôi nghĩ cách tốt nhất để hiểu ý nghĩa tính toán của các tiên đề lý thuyết tập hợp khẳng định sự tồn tại của các hồng y lớn là nghĩ về lý thuyết tập hợp như một cách diễn đạt lý thuyết về đồ thị. Nghĩa là, một mô hình của một tập hợp là một tập hợp các phần tử được trang bị quan hệ nhị phân được sử dụng để giải thích tư cách thành viên. Sau đó, các tiên đề của lý thuyết tập hợp cho bạn biết các thuộc tính của mối quan hệ thành viên, bao gồm cả cách bạn có thể hình thành các tập hợp mới từ cũ. Cụ thể, tiên đề của nền tảng có nghĩa là mối quan hệ thành viên là có cơ sở (nghĩa là nó không có chuỗi giảm dần vô hạn). Sự thành lập tốt này đến lượt nó có nghĩa là nếu bạn có thể sắp xếp các trạng thái thực thi của một chương trình với tư cách thành viên bắc cầu của các phần tử của một tập hợp, thì bạn có bằng chứng chấm dứt.

Vì vậy, một khẳng định rằng một tập hợp "lớn" tồn tại có phần thưởng tính toán như một tuyên bố rằng một lớp vòng lặp nhất định trong ngôn ngữ lập trình đệ quy chung chấm dứt. Giải thích này hoạt động thống nhất, tất cả các cách từ tiên đề cũ đơn giản của vô cực (điều này biện minh cho phép lặp số tự nhiên) cho đến các tiên đề lớn.

Những tiên đề này có đúng không? Chà, nếu tiên đề là sai, bạn có thể tìm thấy một chương trình trong một trong những lớp này không kết thúc. Nhưng nếu đó là sự thật, chúng ta sẽ không bao giờ chắc chắn, nhờ vào định lý Dừng. Tất cả mọi thứ từ cảm ứng số tự nhiên trên là một vấn đề của cảm ứng khoa học , có thể luôn bị làm sai lệch bởi thí nghiệm - Edward Nelson đã nổi tiếng hy vọng chứng minh lũy thừa là một chức năng một phần!

— Neel Krishnaswami
nguồn