Có luật bảo tồn trong lý thuyết phức tạp?

Hãy để tôi bắt đầu với một số ví dụ. Tại sao nó quá tầm thường khi hiển thị CVP ở P nhưng rất khó để hiển thị LP ở P; trong khi cả hai đều là vấn đề P-Complete.

Hoặc lấy tính nguyên thủy. Hiển thị vật liệu tổng hợp trong NP dễ dàng hơn so với số nguyên tố trong NP (yêu cầu Pratt) và cuối cùng ở P. Tại sao nó phải hiển thị sự bất đối xứng này?

Tôi biết Hilbert, cần sự sáng tạo, bằng chứng trong NP, v.v. Nhưng điều đó không ngăn tôi có cảm giác khó chịu rằng có nhiều thứ hơn là bắt mắt.

Có một khái niệm định lượng về "công việc" và có "luật bảo tồn" trong lý thuyết phức tạp không? Ví dụ, điều đó cho thấy rằng mặc dù CVP và LP đều hoàn thành P, nhưng chúng che giấu sự phức tạp của chúng tại "những nơi khác nhau" - một trong số giảm (CVP có đơn giản vì tất cả công việc được thực hiện trong quá trình giảm?) Và khác về tính biểu cảm của ngôn ngữ.

Bất cứ ai khác cũng lo lắng và với một số hiểu biết? Hay chúng ta nhún vai và nói / chấp nhận rằng đây là bản chất của tính toán?

Đây là câu hỏi đầu tiên của tôi đến diễn đàn: ngón tay đan chéo.

Chỉnh sửa: CVP là Bài toán giá trị mạch và LP là Lập trình tuyến tính. Cảm ơn Sadeq, vì đã chỉ ra một sự nhầm lẫn.

Đây là một câu hỏi đã chạy qua tâm trí của tôi nhiều lần.

Tôi nghĩ rằng một nơi để tìm là lý thuyết thông tin. Đây là một suy đoán của tôi. Đưa ra một vấn đề có lẽ chúng ta có thể đưa ra một số loại giá trị entropy cho thông tin được cung cấp dưới dạng đầu vào và thông tin nhận được từ thuật toán. Nếu chúng ta có thể làm điều đó, thì sẽ có một lượng thông tin thu được tối thiểu theo yêu cầu của một thuật toán để giải quyết vấn đề đó.

Có một điều liên quan tôi muốn tìm hiểu. Trong một số vấn đề hoàn thành NP, bạn có thể tìm thấy một phiên bản bị ràng buộc trong P; với đường dẫn Hamilton nếu bạn xác định rằng biểu đồ là DAG thì sẽ có thuật toán p-time để giải quyết nó. Với các vấn đề khác như TSP, thường có các thuật toán p-time sẽ xấp xỉ tối ưu. Dường như đối với tôi, đối với các thuật toán thời gian p bị hạn chế, cần có một số mối quan hệ tỷ lệ giữa thông tin bổ sung được giả định và giảm độ phức tạp thời gian chạy. Trong trường hợp TSP, chúng tôi không giả sử thông tin bổ sung, chúng tôi đang nới lỏng độ chính xác, điều mà tôi hy vọng sẽ có tác động tương tự đối với bất kỳ loại thông tin thuật toán nào đạt được.

Lưu ý về luật bảo tồn

Vào đầu những năm 1900, có rất ít nhà toán học người Mỹ gốc Đức tên Emily Noether. Trong số những thứ khác, cô được Einstein và Hilbert mô tả là những người phụ nữ nhập khẩu nhiều nhất trong lịch sử toán học. Năm 1915, bà đã xuất bản Định lý đầu tiên của Noether . Định lý là về các định luật bảo tồn vật lý, và nói rằng tất cả các định luật bảo tồn đều có sự đối xứng khác biệt tương ứng trong hệ thống vật lý. Bảo tồn Động lượng góc xuất phát từ sự đối xứng quay trong không gian, Bảo tồn Động lượng tuyến tính là dịch trong không gian, Bảo tồn năng lượng là dịch theo thời gian. Cho rằng, để có một số định luật bảo toàn độ phức tạp theo nghĩa chính thức, cần phải có một số đối xứng vi phân tương ứng trong hàm Langragian.

Tôi nghĩ lý do nằm trong hệ thống logic mà chúng ta sử dụng. Mỗi hệ thống chính thức có một bộ tiên đề và một bộ quy tắc suy luận .

Một bằng chứng trong một hệ thống chính thức chỉ là một chuỗi các công thức sao cho mỗi công thức trong chuỗi đó là một tiên đề hoặc được lấy từ các công thức trước đó trong chuỗi bằng cách áp dụng quy tắc suy luận. Một định lý của hệ thống chính thức chỉ là công thức cuối cùng trong một bằng chứng.

Độ dài của chứng minh một định lý, giả sử nó có thể quyết định được trong hệ thống logic, phụ thuộc hoàn toàn vào các tập hợp tiên đề và quy tắc suy luận .

Ví dụ, hãy xem xét logic mệnh đề, trong đó tồn tại một số đặc tính: Frege (1879), Nicod (1917) và Mendelson (1979). (Xem khảo sát ngắn này để biết thêm.)

$\varphi \to \varphi$

Vấn đề này được gọi là phức tạp bằng chứng . Để trích dẫn Beame & Pitassi :

Một trong những câu hỏi cơ bản nhất của logic là như sau: Đưa ra một tuyên bố đúng toàn cầu (tautology) độ dài của bằng chứng ngắn nhất của tuyên bố trong một số hệ thống chứng minh tiên đề tiêu chuẩn là gì? Phiên bản logic mệnh đề của câu hỏi này đặc biệt quan trọng trong khoa học máy tính cho cả lý thuyết chứng minh và lý thuyết phức tạp. Các câu hỏi thuật toán quan trọng liên quan là: Có thuật toán hiệu quả nào sẽ tạo ra bằng chứng về bất kỳ tautology nào không? Có một thuật toán hiệu quả để tạo ra bằng chứng ngắn nhất về bất kỳ tautology nào không? Những câu hỏi về chứng minh định lý và độ phức tạp như vậy đã truyền cảm hứng cho bài báo bán nguyệt của Cook về tính đầy đủ của NP có tên là Sự phức tạp của các thủ tục chứng minh định lý, và đã được xem xét trước đó bởi Gôdel trong bức thư nổi tiếng của ông gửi cho von Neumann.

Tôi đã suy nghĩ về câu hỏi tương tự vào một ngày khác, khi tôi đang phát lại một số bài giảng của Feynman về Vật lý, và đến bài 4 về bảo tồn năng lượng. Trong bài giảng, Feynman sử dụng ví dụ về một cỗ máy đơn giản (thông qua một số hệ thống đòn bẩy hoặc ròng rọc hoặc bất cứ thứ gì) làm giảm trọng lượng của một đơn vị theo một khoảng cách x, và sử dụng nó để nâng trọng lượng thứ hai lên 3 đơn vị. Làm thế nào cao trọng lượng có thể được nâng lên? Feynman đưa ra quan sát rằng nếu máy có thể đảo ngược, thì chúng ta không cần biết gì về cơ chế của máy - chúng ta có thể coi nó như một hộp đen - và nó sẽ luôn nâng trọng lượng tối đa có thể ( x / 3 trong trường hợp này).

Điều này có một sự tương tự trong tính toán? Ý tưởng về tính toán đảo ngược mang đến cho công việc của Landauer và Bennett, nhưng tôi không chắc đây là ý nghĩa của thuật ngữ mà chúng tôi quan tâm. Theo trực giác, nếu chúng ta có một thuật toán cho một số vấn đề là tối ưu, thì sẽ không có bất kỳ "công việc" nào bị lãng phí khi thực hiện các bit; trong khi một cách tiếp cận mạnh mẽ cho cùng một vấn đề sẽ làm vứt bỏ các chu kỳ CPU sang trái và phải. Tuy nhiên, tôi tưởng tượng người ta có thể xây dựng một mạch đảo ngược vật lý cho cả hai thuật toán.

Tôi nghĩ rằng bước đầu tiên trong việc tiếp cận một luật bảo tồn cho sự phức tạp tính toán là tìm ra chính xác những gì cần được bảo tồn. Không gian và thời gian là mỗi số liệu quan trọng, nhưng rõ ràng từ sự tồn tại của sự đánh đổi không gian / thời gian mà không ai tự nó sẽ là đủ để đo lường mức độ "công việc" được thực hiện bởi một thuật toán. Có các số liệu khác như đảo ngược đầu TM hoặc giao cắt tế bào băng đã được sử dụng. Không ai trong số này thực sự có vẻ gần với trực giác của chúng ta về số lượng "công việc" cần thiết để thực hiện một tính toán.

Mặt trái của vấn đề là tìm ra công việc đó được chuyển đổi thành gì. Một khi bạn có đầu ra từ một chương trình, chính xác thì bạn đã đạt được gì?

Một số quan sát cho thấy sự tồn tại của luật bảo tồn:

$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

$P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

Tao gợi ý sự tồn tại của định luật bảo toàn khó khăn trong toán học: "để chứng minh bất kỳ kết quả thực sự không tầm thường nào, một số công việc khó khăn phải được thực hiện ở đâu đó".

Ông lập luận rằng độ khó của một số bằng chứng toán học cho thấy ràng buộc thấp hơn với lượng nỗ lực cần thiết của quá trình chứng minh định lý.