Các vấn đề với khoảng cách phức tạp mở lớn

Câu hỏi này là về các vấn đề có khoảng cách phức tạp mở lớn giữa giới hạn dưới và giới hạn trên đã biết, nhưng không phải vì các vấn đề mở trên chính các lớp phức tạp.

Để được chính xác hơn, chúng ta hãy nói một vấn đề có lớp khoảng cách $A,B$ (với $A\subseteq B$ , không được định nghĩa duy nhất) nếu $A$ là một lớp học tối đa mà chúng ta có thể chứng minh điều đó là $A$ -Hard, và $B$ là một tối thiểu được biết đến trên ràng buộc , tức là chúng ta có một thuật toán trong giải bài toán. Điều này có nghĩa là nếu cuối cùng chúng ta phát hiện ra rằng vấn đề là -complete với , nó sẽ không ảnh hưởng đến lý thuyết phức tạp nói chung, trái ngược với việc tìm ra thuật toán cho vấn đề -complete.$B$$C$P N $A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

Tôi không quan tâm đến các vấn đề với và , vì nó đã là đối tượng của câu hỏi này .B = N $A\subseteq P$$B=NP$

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ về các vấn đề với các lớp khoảng cách càng xa càng tốt. Để giới hạn phạm vi và chính xác câu hỏi, tôi đặc biệt quan tâm đến các vấn đề với và , nghĩa là cả tư cách thành viên trong và đều phù hợp với kiến ​​thức hiện tại, mà không làm cho các lớp đã biết sụp đổ (nói các lớp từ danh sách này ).B ⊇ E X P T I M E P E X P T I M $A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

Các vấn đề tương đương nút .

Cho hai nút thắt được vẽ trong mặt phẳng, chúng có giống nhau về mặt cấu trúc không? Vấn đề này được biết đến là decidable, và có dường như không có bất kỳ chướng ngại vật phức tạp tính toán để hạnh phúc của mình trong P. tốt nhất trên hiện đang bị ràng buộc gọi vào độ phức tạp thời gian của mình có vẻ là một tháp s chiều cao c n , nơi c = 10 10 6 và n là số lượng giao cắt trong sơ đồ nút. Điều này xuất phát từ một ràng buộc của Coward và Lackenby về số lần di chuyển Reidemeister cần thiết để thực hiện một nút thắt cho một nút tương đương. Xem bài viết gần đây của Lackenby$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ đối với một số kết quả liên quan gần đây và cho dạng rõ ràng của ràng buộc tôi đưa ra ở trên (trang 16).

Dưới đây là một phiên bản của vấn đề kích thước mạch tối thiểu (MCSP): trao chút sự thật bảng của một hàm Boolean, nó có một mạch kích thước tối đa là 2 n / 2 ?$2^n$$2^{n/2}$

Được biết là không có trong . Chứa trong N P . Thường được cho là N P -hard, nhưng điều này là mở. Tôi tin rằng nó thậm chí còn không được gọi là A C 0 [ 2 ] -hard. Thật vậy, công việc gần đây với Cody Murray (xuất hiện trong CCC'15) cho thấy không có sự giảm NC0 thống nhất từ ​​PARITY xuống MCSP.$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

Sự phức tạp của máy tính một chút (quy định tại nhị phân) của một số đại số hợp lý (ví dụ như ) có giới hạn trên được biết đến nhiều nhất của P P P P P P P thông qua việc giảm vấn đề B i t S L P được biết là có giới hạn trên[ABD14]. Mặt khác, chúng ta thậm chí không biết liệu vấn đề này có khó hơn so với tính toán tính chẵn lẻ củanbit hay không - vì tất cả chúng ta đều biết vấn đề này có thể nằm ởA C 0 . Tuy nhiên, lưu ý rằng chúng ta biết rằng không có máy tự động hữu hạn nào có thể tính toán các bit của số đại số không hợp lý[AB07]$\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

Một vấn đề tô pô tự nhiên khác, tương tự như câu trả lời của Peter Shor, là khả năng nhúng của các phức hợp đơn giản trừu tượng 2 chiều trong $\mathbb{R}^3$ . Nói chung đó là tự nhiên để hỏi khi chúng ta có thể có hiệu quả / hiệu quả quyết định rằng một trừu tượng chiều simplicial phức tạp$k$ có thể được nhúng trong . Với k = 1 và d = 2, đây là bài toán phẳng đồ thị và có thuật toán thời gian tuyến tính. Với k = 2 và d = 2 cũng có thuật toán thời gian tuyến tính . Các$\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$ , d = 3 trường hợp đã được mở cho đến năm ngoái, khi nó đượcchứng minh là có thể quyết định bởi Matousek, Sedgwick, Tancer và Wagner. Họ nói rằng thuật toán của họ cóthời gianđệ quy nguyên thủybị ràng buộc, nhưnglớn hơn một tháp theo cấp số nhân. Mặt khác, họ suy đoán rằng có thể đặt vấn đề vào NP, nhưng vượt ra ngoài điều đó sẽ là thách thức. Tuy nhiên, dường như không có bằng chứng mạnh mẽ nào cho thấy thuật toán đa thời gian là không thể.$k=2$$d=3$

Bài viết sau có nhiều tài liệu tham khảo để đọc thêm.

Máy tự động đa điểm (MCA) là máy tự động hữu hạn được trang bị các bộ đếm có thể tăng và giảm trong một bước nhưng chỉ lấy số nguyên> = 0 làm số. Không giống như các máy Minsky (còn gọi là bộ đếm tự động), MCA không được phép kiểm tra xem bộ đếm có bằng không hay không.

Một trong những vấn đề thuật toán có khoảng cách lớn liên quan đến MSC là vấn đề Khả năng tiếp cận. Ví dụ, liệu máy tự động có thể đạt tới, từ một cấu hình có trạng thái ban đầu và tất cả các bộ đếm bằng 0, một cấu hình có trạng thái chấp nhận và tất cả các bộ đếm đều không.

Vấn đề là khó đối với EXPTIME (như Richard Lipton thể hiện năm 1976), có thể quyết định (Ernst Mayr, 1981) và có thể giải quyết được trong Fω3 (cảm ơn, Sylvain, vì đã chỉ ra điều này). Một khoảng cách rất lớn.

(Quantum Merlin-Arthur với hai provers unentangled): chắc chắn Q M Một -Hard, nhưng chỉ biết là trong N E X P . $\mathsf{QMA}(2)$$\mathsf{QMA}$$\mathsf{NEXP}$

Vấn đề tính toán liên quan đến Bổ đề Chuẩn hóa của Noether đối với các giống rõ ràng ("rõ ràng" theo nghĩa của bài viết này [ phiên bản đầy đủ có sẵn miễn phí ]). Giới hạn trên được biết đến nhiều nhất là $\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Các vấn đề Skolem (cho một sự tái diễn tuyến tính với trường hợp số nguyên cơ bản và hệ số nguyên, không bao giờ đạt được giá trị 0) được biết đến là NP-khó và không biết đến là decidable. Theo như tôi biết, bất cứ điều gì ở giữa sẽ phù hợp với kiến ​​thức hiện tại của chúng tôi mà không có sự sụp đổ của các lớp phức tạp tiêu chuẩn.