Có đủ để sắp xếp cho nhiều chuỗi 0-1 đa thức cho một mạng sắp xếp không?

Nguyên tắc 0-1 nói rằng nếu một mạng sắp xếp hoạt động cho tất cả các chuỗi 0-1, thì nó hoạt động cho bất kỳ bộ số nào. Có sao cho nếu một mạng sắp xếp mỗi chuỗi 0-1 từ S, thì nó sắp xếp mọi chuỗi 0-1 và kích thước của S là đa thức trong n ?$S\subset \{0,1\}^n$$S$$n$

Ví dụ: nếu bao gồm tất cả các chuỗi trong đó có nhiều nhất 2 lần chạy (khoảng) là 1 thì có một mạng sắp xếp N và một chuỗi không được N đặt hàng nếu tất cả các thành viên của S được N sắp xếp theo thứ tự?$S$$2$$S$

Trả lời: Như có thể thấy từ câu trả lời và các bình luận cho nó, câu trả lời là cho mỗi chuỗi chưa được sắp xếp có một mạng sắp xếp sắp xếp mọi chuỗi khác. Một bằng chứng đơn giản cho điều này là sau đây. Hãy để cho chuỗi được như vậy mà là i = 0 mãi mãi i < k và s k = 1 . Vì s là không sắp xếp, nên sau khi sắp xếp s k nên là 0 . Hãy so sánh k với mọi i mà s i$s=s_1\ldots s_n$$s_i=0$$i<k$$s_k=1$$s$$s_k$$0$$k$$i$ . Sau đó so sánh mọi cặp ( i , j ) sao cho i ≠ k và j ≠ k nhiều lần. Điều này để lại toàn bộ chuỗi được sắp xếp, ngoại trừ có thể cho s k , không được sắp xếp cho s và đối với một số chuỗi khác có nhiều hơn 1 s so với s . Bây giờ so sánh s k với i = n dowo 1 ngoại trừ nơi s k nên đi trong s . Điều này sẽ sắp xếp mọi thứ trừ s .$s_i=1$$(i,j)$$i\ne k$$j\ne k$$s_k$$s$$1$$s$$s_k$$i=n$$1$$s_k$$s$$s$

Cập nhật: Tôi tự hỏi điều gì xảy ra nếu chúng tôi giới hạn độ sâu của mạng thành .$O(\log n)$

Có vẻ như không. Ian Parberry làm tài liệu tham khảo cho một giấy bởi Chung và Ravikumar, nơi họ được cho là cung cấp cho một cấu trúc đệ quy của một mạng sắp xếp mà sắp xếp mỗi bitstring nhưng một, và suy ra thêm rằng vấn đề xác minh một mạng lưới phân loại là - N P hoàn chỉnh. Tôi không thể tìm thấy bài báo gốc ngay lập tức, nhưng chắc chắn nó phù hợp với trực giác (của tôi).$co$$NP$

Chỉnh sửa để thêm: Thực sự rất dễ dàng để tìm thấy một mạng như vậy mà bỏ lỡ chính xác một chuỗi. Chuỗi bị bỏ lỡ sẽ là . Bây giờ bạn chỉ muốn một mạch sắp xếp n - 1 bit cuối cùng , sau đó sắp xếp n - 1 bit đầu tiên . Mạch này sẽ sắp xếp mọi thứ với ít nhất hai 1 giây, rõ ràng sẽ sắp xếp chuỗi hoàn toàn bằng 0 và sẽ sắp xếp bất kỳ chuỗi nào bắt đầu bằng 0 .$(1,0,\ldots,0)$$n-1$$n-1$$1$$0$