Thuật toán xác định đơn giản và thực tế, thời gian chạy phức tạp

Rất thường xuyên, nếu thời gian chạy của một thuật toán là một biểu thức phức tạp, bản thân thuật toán cũng phức tạp và không thực tế. Mỗi gốc khối và các yếu tố trong thời gian chạy tiệm cận có xu hướng tăng thêm độ phức tạp cho thuật toán và cũng ẩn các yếu tố không đổi trong thời gian chạy.$\log \log n$

Chúng ta có những ví dụ nổi bật trong đó quy tắc này không?

Tất nhiên rất dễ tìm thấy các ví dụ về các thuật toán rất khó thực hiện mặc dù chúng có thời gian chạy trường hợp xấu nhất rất đơn giản. Nhưng những gì về converse?

Chúng ta có các ví dụ về các thuật toán xác định rất đơn giản và thực tế , dễ thực hiện nhưng tình cờ có một biểu thức rất phức tạp như thời gian chạy tiệm cận tồi tệ nhất của nó không?

Xin lưu ý các từ khóa "xác định" và "trường hợp xấu nhất"; việc phân tích các thuật toán ngẫu nhiên đơn giản khá dễ dẫn đến các biểu thức phức tạp.

Tất nhiên những gì "phức tạp" là một vấn đề của hương vị. Dù sao, tôi muốn thấy một biểu thức quá xấu để đặt tiêu đề của bài báo của bạn. Và tôi thích một hàm phức tạp của một tham số tự nhiên (kích thước đầu vào, số lượng nút, v.v.).

Tái bút Tôi nghĩ rằng tôi sẽ không biến đây thành một "câu hỏi lớn", và không phải CW. Tôi muốn tìm một ví dụ tuyệt vời duy nhất (nếu nó tồn tại). Do đó, vui lòng chỉ đăng một câu trả lời khác nếu bạn nghĩ rằng nó "tốt" hơn bất kỳ câu trả lời nào cho đến nay.

Ví dụ tốt nhất tôi có thể nghĩ đến là một thuật toán (được mô tả bên dưới) để tính -level theo cách sắp xếp n dòng trong mặt phẳng, tức là đường đa giác được hình thành bởi các điểm có chính xác k đường thẳng đứng phía trên nó. Đây không phải là thuật toán hiệu quả nhất được biết cho vấn đề. Có các thuật toán hiệu quả hơn với độ phức tạp đơn giản hơn, nhưng tôi tin rằng thuật toán này thực tế hơn hầu hết (nếu không phải là tất cả). Phân tích có lẽ không chặt chẽ, bởi vì nó sử dụng độ phức tạp k -level, đây là một vấn đề mở nổi tiếng (tôi nghĩ tất cả các thuật ngữ khác trong phân tích đều chặt chẽ). Mặc dù vậy, tôi nghi ngờ giới hạn được cải thiện cho k -level sẽ làm cho thời gian chạy đơn giản hơn nhiều. Tôi sẽ giả sử k $k$$n$$k$$k$$k$ để viết độ phức tạp như là một hàm của n một mình.$k=n/2$$n$

Thuật toán dựa trên mô hình quét dòng và sử dụng hai giải đấu động học -ary làm hàng đợi ưu tiên động học. Việc chèn và xóa được thực hiện khi một dòng vượt lên trên hoặc dưới k -level, di chuyển một dòng từ giải đấu động này sang giải đấu khác. Do đó, có O ( n 4 / 3 ) chèn và xóa bỏ (sử dụng ràng buộc cho Dey của k phức tạp -level). Mỗi sự kiện được xử lý trong O ( log n ) thời gian và có O ( n 4 / 3 α ( $(\log n)$$k$$O(n^{4/3})$$k$$O(\log n)$ sự kiện (các α ( n ) xuất phát từ sự phức tạp của phong bì trên các thỏa thuận của đoạn thẳng, trong khi log n / log log n đến từ chiều cao của một ( log n ) cây -ary ). Tổng thời gian chạy là$O(n^{4/3} \alpha(n) \log n / \log \log n)$$\alpha(n)$$\log n / \log \log n$$(\log n)$

Vui lòng kiểm tra bản thảo của Timothy Chan http://www.cs.uwaterloo.ca/~tmchan/lev2d_7_7_99.ps.gz để biết thêm chi tiết và tham khảo. Các yếu tố có thể được loại bỏ bằng cách sử dụng một số nhị phân (intead của ( log n ) -ary) giải động học, nhưng nó thực sự tăng tốc hàng đợi ưu tiên động trong các bài kiểm tra mà tôi thực hiện. Sự phức tạp sẽ trở nên xấu hơn và tồi tệ hơn một chút (trong khi thuật toán vẫn sẽ thực tế) nếu một đống động học được sử dụng thay vì một giải đấu động học (một bản ghi bên trong một căn bậc hai sẽ xuất hiện).$1/\log \log n$$(\log n)$$\log$

Các hoạt động cấu trúc dữ liệu tìm liên kết dường như đáp ứng các tiêu chí của bạn:

http://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure

Thuật toán đơn giản. Dễ dàng thực hiện và làm việc tuyệt vời trong thực tế nhưng là một mớ hỗn độn để phân tích về mặt lý thuyết.

Tôi không chắc nếu bạn xem đây là "thực tế" nhưng nó là một vấn đề mở nổi tiếng. Paul Erdos đã nói về phỏng đoán của Collatz: Toán học chưa sẵn sàng cho những vấn đề như vậy

$x=1$

Ví dụ này, trong khi không đáp ứng thư yêu cầu của bạn có thể được quan tâm vì nó mang một số mối quan hệ tâm linh. Cụ thể, câu hỏi sắp xếp các ngăn xếp của bánh kếp và bánh kếp bị cháy bằng cách đảo ngược.

http://en.wikipedia.org/wiki/Pancake_sorting

Một lĩnh vực của ứng dụng là sinh học tính toán (di truyền học) trong đó các câu hỏi về sắp xếp lại bộ gen có thể được đặt ra theo khoảng cách giữa các hoán vị bằng cách sử dụng sự đảo ngược của các hoán vị theo các quy tắc khác nhau.